Алгоритм побудови мозаїк Пенроуза – моделі та квазікристали. Алгоритм побудови мозаїк Пенроуза – моделі та квазікристали Симетрична мозаїка

09.01.2024

Учасники проекту

Никифоров Кирило, учень 8 класу

Руднєва Оксана, учениця 8 класу

Потураєва Ксенія, учениця 8 класу

Тема дослідження

Мозаїка Пенроуза

Проблемне питання

Що таке мозаїка Пенроуза?

Гіпотеза дослідження

Існує неперіодичне замощення площини

Цілі дослідження

Познайомиться з мозаїкою Пенроуза та дізнатися чому вона називається "золотою" мозаїкою

Отримані результати

Мозаїка Пенроуза

Замощення площини – це покриття всієї площини фігурами, що не перекриваються. У математиці завдання суцільного заповнення площини багатокутниками без пробілів та перекриттів називається паркетами чи мозаїкою. Ймовірно, вперше інтерес до замощення виник у зв'язку із побудовою мозаїк, орнаментів та інших візерунків. Ще давнім грекам було відомо, що це завдання легко вирішується при покритті площини правильними трикутниками, квадратами та шестикутниками.

Таке замощення площини називається періодичним. Пізніше навчилися виконувати замощення, використовуючи комбінацію кількох правильних багатокутників.

Більш складним завданням було створення не зовсім "правильного" чи "майже" періодичного паркету. Довгий час вважалося, що це завдання немає рішення. Однак у 60-х роках минулого століття вона все ж таки була вирішена, але для цього знадобився набір із тисяч багатокутників різних видів. Крок за кроком число видів вдавалося зменшити, і, нарешті, в середині 1970-х років професор Оксфордського університету Роджер Пенроуз, видатний вчений сучасності, що активно працює в різних галузях математики та фізики, вирішив завдання, використовуючи лише два види ромбів.

Роджер Пенроуз

Ми досліджували метод побудови такої мозаїки, яка тепер називається мозаїкою Пенроуза. Для цього у правильному п'ятикутнику (пентагоні) проведемо діагоналі. Отримаємо новий пентагон і два види рівнобедрених трикутників, які називають «золотими». Відношення стегна до основи в таких трикутниках дорівнює «золотій» пропорції. Кути в трикутниках рівні 36 °, 72 ° і 72 ° в одному і 108 °, 36 ° і 36 ° в іншому. З'єднаємо по два однакові трикутники і отримаємо «золоті» ромби. Їх і використав вчений у конструюванні паркету, а сам паркет назвали "золотим".

Мозаїка Пенроуза

Мозаїка Пенроуза має властивості:

1. відношення числа тонких ромбів до товстих виявляється завжди одно так званому "золотому" числу 1,618...

Перегляди: 367

У лютневому номері журналу «Сайнс» («Science») за 2007 рік з'явилася стаття американських учених Пітера Лу та Паула Стейнхардта про середньовічну ісламську архітектуру, яка одразу стала науковою сенсацією. На думку авторів статті, мозаїчні візерунки, що прикрашають стіни середньовічних мавзолеїв, мечетей та палаців, виконані з використанням математичних законів, відкритих європейськими вченими лише у 70-х роках ХХ століття. Звідси, очевидно, середньовічні архітектори на кілька століть випередили своїх європейських колег.

Це відкриття, як і багато в сучасній науці, відбулося випадково. У 2005 році аспірант Гарвардського університету Пітер Лу приїхав як турист в Узбекистан. Милуючись настінним декором мавзолею Абдуллахана в Бухарі, він побачив у ньому аналог складних геометричних побудов, які вивчали колись в університеті. Химерні форми візерунків на численних самаркандських орнаментах лише підтверджували правильність його припущення. Після повернення додому він розповів про своє відкриття керівнику своєї студентської дипломної роботи, професору Прінстонського університету, Паулу Стейнхардту.

Ретельне дослідження структури настінних розписів та орнаменту середньовічних мусульманських архітектурних пам'яток в Узбекистані, Афганістані, Ірані, Іраку, Туреччині та Індії підтвердили правильність припущення Пітера Лу та стали предметом згаданої вище сенсаційної статті.

Щоб зрозуміти сенс відкриття Пітера Лу і Паула Стейнхадта слід ознайомитися з такими поняттями як завдання паркетах, квазикристалическая структура, золоте число тощо. Тому почнемо виклад по порядку.

Завдання про паркети та структури Пенроуза

У математиці завдання суцільного заповнення площини багатокутниками без пробілів та перекриттів називається паркетами. Ще давнім грекам було відомо, що це завдання легко вирішується при покритті площини правильними трикутниками, квадратами та шестикутниками.

У той же час, правильні п'ятикутники не можуть служити елементарними елементами паркету, оскільки їх не можна на площині підігнати один до одного без зазорів. Те саме можна сказати про семи-, восьми-, дев'яти-, десяти-і т.д. косинці. Поступово придумали способи заповнення площини правильними багатокутниками різних видів і розмірів. Наприклад, ось так можна заповнити площину, комбінуючи чотири- та восьмикутники різних розмірів:

Значно складнішим розвитком цього завдання була умова, щоб структура паркету, складеного з кількох видів багатокутників і повністю покриває площину, була б зовсім «правильної» чи «майже» періодичної. Довгий час вважалося, що це завдання немає рішення. Однак у 60-х роках минулого століття вона все ж таки була вирішена, але для цього знадобився набір із тисяч багатокутників різних видів. Крок за кроком кількість видів вдавалося зменшити, і, нарешті, в середині 70-х років, професор Оксфордського університету Роджер Пенроуз вирішив завдання, використовуючи лише два види ромбів. Нижче показаний варіант квазіперіодичного (тобто майже періодичного) заповнення площини ромбами з гострими кутами 72 і 36°. Їх ще називають «товстими» та «худими» ромбами.

Для отримання неперіодичної картини при укладанні ромбів слід дотримуватись деяких нетривіальних правил їх поєднання. Виявилося, що ця проста на вигляд структура має дуже цікаві властивості. Наприклад, якщо взяти відношення числа тонких ромбів до товстих, то воно виявляється завжди одно так званому «золотому перерізу» 1,618 ... Оскільки це число «не точне», а як кажуть математики ірраціональне, то і структура виходить не періодичною, а майже періодичною. Більше того, це число визначає співвідношення між відрізками всередині десятикутників, що утворюють п'ятикутну зірку – пентаграму, яка вважається геометричною фігурою з ідеальними пропорціями. Зверніть увагу, що виділені десятикутники мають однакову орієнтацію, що узгоджує та визначає розташування ромбів, з яких складена мозаїка Пенроуза. Вражаюче, що ця чисто геометрична побудова виявилася найвідповіднішою математичною моделлю для опису, відкритих у 1984 році квазікристалів.

Що таке квазікристали

Ми включили цей розділ до нашої статті для того, щоб розповісти ще одну цікаву історію про те, як математична побудова, яка є плодом чистої фантазії вчених, несподівано знайшла важливе практичне застосування.

Всі речовини в природі можна розділити на два типи: аморфні, в яких повністю відсутня закономірність у взаємному розташуванні атомів, і кристалічні, що характеризуються їх строго впорядкованим розташуванням. З законів кристалографії випливає, що з кристалів можливі осі симетрії лише першого, другого, третього, четвертого і шостого порядків, тобто. за аналогією з паркетами кристали з симетрією п'ятого порядку у природі існувати що неспроможні. Ця обставина була суворо доведена на основі математичної теорії груп у багатовимірних просторах. Але природа, як завжди виявилася набагато винахідливішою і в 1984 році була опублікована робота групи Шехтмана, в якій повідомлялося про відкриття алюмінієвого сплаву з марганцем, що володіє обертальною симетрією п'ятого порядку. Згодом було синтезовано безліч аналогічних сплавів з невідомими досі властивостями. Ці сплави були названі квазікристалами, і зараз вони розглядаються як проміжні між аморфними та кристалічними формами речовини.

Саме завдяки цьому відкриттю геометрична побудова Пенроуза, що виявилася найбільш підходящим інструментом для моделювання структури квазікристалів, набула великої популярності і набула подальшого розвитку. І саме тому воно включено до університетських курсів. В даний час вже отримано тривимірне узагальнення мозаїки Пенроуза, складеної з худого і товстого ромбоедрів шестигранних фігур, кожна грань яких ромб.

Яка геометрія лежить в основі середньовічної мозаїки

Проаналізувавши близько 3700 мозаїчних плиток, Лу і Стейнхардт дійшли висновку, що на рубежі XIII століття повсюдно в мусульманських країнах поширилася технологія декорації мавзолеїв, мечетей та інших будов періодичної мозаїкою, складеної з набору п'яти багатокутників, а саме, десятикутника, десятикутника. (термінологія авторів статті), п'ятикутника та ромба. Фактично, це було рішення описаної вище завдання паркетах з допомогою набору з п'яти «мусульманських» багатокутників. Візерунки, складені з таких багатокутників, називаються «гірих» (від перського – вузол).

Зверніть увагу, що грані всіх багатокутників мають однакові розміри, що дозволяє стикування їх з будь-якої сторони. Крім того, на кожній плитці-багатокутнику є декоруючі лінії, але і вони прокреслені за суворими геометричними правилами: будь-які дві лінії візерунка сходяться в середині кожної сторони під кутами 72 або 108°, тобто. кратними 36 °. Це забезпечує збереження безперервності візерунка під час переходу від однієї плитки до іншої.

Для побудови такої мозаїки було достатньо мати у своєму розпорядженні циркуль та лінійку. До речі, до відкриття американських учених так і вважалося, що середньовічні майстри під час створення декору будівель користувалися лише найпростішими інструментами як лінійка та циркуль. Тепер стало очевидно, що це не зовсім так.

На XV століття припадає найбільш творчий період розквіту науки і культури у країнах, які керували Тимуридами. Саме в цей час відбувся якісний стрибок у мистецтві орнаменту. Підтвердженням цього є той факт, що численні досліджені пам'ятники як мавзолей Дарб-е-Імама в Ірані, усипальниця Хаджа Абдуллаха Ансарі в Гераті та інші відносяться до епохи Тимуридів.

Комбінація традиційної мозаїки гиріх, що стала до цього часу, і геометричних фігур «стріла» і «паперовий змій» (знову за термінологією Лу і Стеїнхардта) дозволили створити

неперіодичні візерунки, що нагадують мозаїку Пенроуза. Звідси випливає, що до цього часу вони, можливо, використовували складніші інструменти, але очевидно, що в XV столітті в техніці декору стався концептуальний стрибок!

Вже в наступних, після опублікування статті, інтерв'ю Лу та Стейнхардт зазначали, що вони не можуть сказати, наскільки середньовічні архітектори самі розуміли деталі свого відкриття, але те, що вони бачать це аналог структур Пенроуза. І вони цілком впевнені в тому, що те, що вони відкрили, не може бути лише випадковим збігом.

Ліричний відступ

Справу зроблено. Мені вдалося розібратися в премудростях геометричних візерунків, що надають неповторної краси творінням наших предків, і я сподіваюся певною мірою задовольнити цікавість наших співвітчизників. Залишається, звичайно, якась незадоволеність, адже я теж сотні разів милувався красою та витонченістю самаркандських орнаментів. Чому ж мені ніколи не спадала на думку ця думка. На виправдання собі можу лише сказати, що коли квазіперіодична структура Пенроуза увійшла до університетських курсів, я вже працював над кандидатською дисертацією за своєю вузькою спеціальністю. А Пітеру Лу лише 28 років, і він уже проходив структури Пенроуза в університеті. Звичайно, знати і розпізнати в зовсім несподіваному місці прояв якоїсь закономірності зовсім різні речі, але щоб це зробити, треба як мінімум знати, що такий закон існує.

Але ліричний відступ не про це. Для того, щоб розібратися в суті статті в журналі «Сайнс», мені знадобилося два дні, вірніше дві безсонні ночі, але причини, через які я не зробив цього раніше, мають, як мені здається, глибокий філософський зміст. Коли я прочитав в Інтернеті інформацію про статтю Лу та Стейнхардта, то я одразу ж зателефонував моєму колезі, фахівцю в галузі геометрії. Він з півслова зрозумів, про що йдеться, але засмутив мене, повідомивши, що я застав його перед від'їздом до аеропорту. Дізнавшись, що він повертається із закордонного відрядження лише через три місяці, я попросив його хоча б рекомендувати мені якусь книжку, в якій я міг би прочитати про структури Пенроуза. Він назвав мені книжку і при цьому додав, що це дуже складна математика і навряд чи можна буде швидко все зрозуміти і тим паче пояснити це популярним звичайним людям. Коли я перегорнув рекомендовану мені книгу, напхану такими поняттями як багатовимірні інваріантні простори, фактор-простір сполученого ірраціонального простору, то мій ентузіазм швидко згас.

Після повідомлення інформаційного агентства «Жахон» інтерес нашої наукової та й не лише наукової громадськості до цього питання став лавиноподібно наростати. Серед учених чоловіків Академії наук та Національного університету, звісно, знайшлися фахівці, які розуміються на складних питаннях алгебр Лі, теорії груп, багатовимірних симетрій тощо. Але всі вони були єдині на думці, що пояснити ці речі популярно неможливо. Днями мене раптово осяяла тривіальна думка: Стривай. А як же додумалися до цього середньовічні архітектори, адже вони не мали в своєму розпорядженні найпотужніший апарат сучасної математики? Цього разу я вирішив спробувати зрозуміти це не через складний математичний апарат квазіперіодичної структури Пенроуза, який виявився для мене темним лісом, а піти середньовічними архітекторами. Для початку я скачав з Інтернету оригінальну статтю Лу та Стейнхардта. Їхній метод мене вразив. Для пояснення суті відкриття вони теж пішли саме цим шляхом, тобто. використовуючи понятійний апарат середньовічних архітекторів, і оперуючи такими простими речами як мозаїка «гірих», плитки «стріла», «паперовий змій» і т.д.

Філософський зміст всього цього полягає в тому, що для того, щоб зрозуміти закони природи (а може бути і суспільства) не обов'язково всім іти тим самим шляхом. Людське мислення також багатовимірне. Є східний підхід і є підхід західний. І кожен із них має право на існування, і в окремому конкретному випадку може несподівано виявитися ефективнішим, ніж протилежний. Так вийшло й у цьому випадку: те, що вдалося відкрити західній науці на основі величезного узагальнення тернистого досвіду, східна наука зробила на основі інтуїції та почуття прекрасного. І результати очевидні: у практичному втіленні законів геометрії в практику, східні мислителі випередили західних на п'ять століть!

Шухрат Егамбердієв.
Астрономічний інститут АН РУз.

З повним текстом статті з кольоровими ілюстраціями можна ознайомитись у найближчому (стаття написана в 2008 році ЄС) номері журналу «Фан ва турмуш» — «Наука і життя Узбекистану».

Ганьба! Люди Середньовіччя переплюнули сучасних вчених. Ми думали, що просунута математика та кристалографія – наші досягнення. Виявляється, нічого подібного – це було вже півтисячі років тому. До того ж, сучасну науку, схоже, перегнали не найкращі математики, а прості художники. Ну, може, й не дуже прості… Але ж таки!

Ні, ну справді — сучасні математики займаються суцільною нісенітницею! То папір складають по 12 разів, то в'яжуть гачком рівняння Лоренца, то викручують м'ячики в пончики. Загалом із серйозних людей залишилися лише Перельман та Окуньков — на них вся надія…

Адже цікаво, що математичні досягнення люди робили і в давнину, часом зовсім не надаючи їм особливого значення. Цікаво також, що ті ж «старовинні» відкриття вчені повторюють у наші дні, анітрохи при цьому не підозрюючи, що вигадують щось, що існує без їхніх здогадів не одне століття.

Ось, скажімо, англійський математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) вигадав у 1973 році таку штуку – особливу мозаїку з геометричних фігур. Називатись вона стала, відповідно, мозаїкою Пенроуза. Чого ж у ній такого специфічного?

Мозаїка Пенроуза у версії її автора. Вона зібрана з ромбів двох типів, один – з кутом 72 градуси, інший – з кутом 36 градусів. Картина з неї виходить симетрична, але не періодична (ілюстрація із сайту en.wikipedia.org).

Мозаїка Пенроуза є візерунком, зібраним з багатокутних плиток двох певних форм (трохи різняться ромбів). Ними можна замостити нескінченну площину без пробілів.

Зображення виглядає так, ніби є якимось «ритмічним» орнаментом – картинкою, що володіє трансляційною симетрією. Такий тип симетрії означає, що у візерунку можна вибрати певний шматочок, який можна копіювати на площині, а потім поєднувати ці дублікати один з одним паралельним переносом (простіше кажучи, без повороту і без збільшення).

Проте, якщо придивитися, можна побачити, що у візерунку Пенроуза немає таких повторюваних структур – він апериодичен. Але справа аж ніяк не в оптичному обмані, а в тому, що мозаїка не хаотична: вона має обертальну симетрію п'ятого порядку.

Приклади квазікісталів – сплав AlMnPd та Al 60 Li 30 Cu 10 (ілюстрація Paul J. Steinhardt).

Це означає, що зображення можна повертати на мінімальний кут, що дорівнює 360 / nградусам, де n– порядок симетрії, у разі n= 5. Отже, кут повороту, який нічого не змінює, має бути кратним 360/5 = 72 градусам.

Приблизно десятиліття вигадка Пенроуза вважалася лише милою математичної абстракцією. Однак у 1984 році Ден Шехтман (Dan Shechtman), професор ізраїльського технологічного інституту (Technion), займаючись вивченням будови алюмінієво-магнієвого сплаву, виявив, що на атомних гратах цієї речовини відбувається дифракція.

Як тут бути? Питання непросте, тому вчені домовилися про те, що цей варіант буде назватися квазікристалами - чимось на кшталт особливого стану речовини.

Тут показаний один із зразків викладки плитки, показаний в арабському манускрипті XV ст. Квітами дослідники виділили повторювані області. На основі цих п'яти елементів збудовані всі геометричні візерунки середньовічних арабських майстрів, вивчені Лу та Стейнхардтом. Як бачите, елементи, що повторюються, не обов'язково збігаються з межами плиток (ілюстрація Peter J. Lu).

Ну а вся краса відкриття, як ви здогадалися, у тому, що для нього вже давно готова математична модель. І, як ви, напевно, зрозуміли, це мозаїка Пенроуза. Ось тільки їй цій зовсім не десять років, а набагато більше. Це стало відомо лише в наші дні, на зорі XXI століття, і модель ця виявилася набагато давнішою, ніж можна було собі уявити.

У 2007 році Пітер Лу (Peter J. Lu), фізик з Гарварда (Harvard University) за компанію з іншим фізиком - Полом Стейнхардтом (Paul J. Steinhardt), але з Прінстона (Princeton University), - опублікував у Science статтю, присвячену мозаїкам Пенроуза (Лу має бути відомий постійним читачам «Мембрани» – ми вже розповідали про його відкриття алмазної обробки древніх сокир та найскладніших старовинних машин). Здавалося б, несподіваного тут небагато: відкриття квазікристалів залучило живий інтерес до цієї теми, що призвело до появи купи публікацій у науковій пресі.

Однак особливість роботи в тому, що вона присвячена далеко не сучасній науці. Та й взагалі – не науці.

"Квазікристалічні" візерунки знайшли своє місце не тільки в архітектурі. Тут ви бачите обкладинку Корану 1306-1315 років та промальовування геометричних фрагментів, на яких заснований візерунок. Цей і наступний приклади не відповідають гратам Пенроуза, але мають обертальну симетрію п'ятого порядку (ілюстрація Peter J. Lu).

Лу звернув увагу на візерунки, що покривають мечеті в Азії, збудовані ще в Середньовіччі. Ці легко відомі малюнки зроблені з мозаїчної плитки. Вони називаються гіріхи (від арабського слова «вузол») і є геометричним орнаментом, характерним для ісламського мистецтва і що складається з багатокутних фігур.

Довгий час вважалося, що ці візерунки створювалися за допомогою лінійки та циркуля. Однак кілька років тому, перебуваючи під час подорожі в Узбекистані, Лу зацікавився візерунками мозаїк, які прикрашали місцеву середньовічну архітектуру, і помітив щось знайоме.

Повернувшись до Гарварду, учений став розглядати аналогічні мотиви у мозаїках на стінах середньовічних споруд Афганістану, Ірану, Іраку та Туреччини.

Він виявив, що ці схеми практично однакові, і зміг виділити основні елементи гірихів, що використовуються у всіх геометричних орнаментах. Крім того, він знайшов креслення цих зображень у старовинних манускриптах, якими древні художники користувалися своєрідною шпаргалкою для прикраси стін.

Але це все, виявляється, не так вже й важливо. Для створення цих візерунків застосовували не прості, випадково вигадані контури, а фігури, які були розташовані у певному порядку. І це не дуже дивно.

А справді цікаво те, що, забувши про подібні схеми, люди знову зустрілися з ними пізніше. Так-так, стародавні візерунки - не що інше, як те, що через століття назвуть ґратами Пенроуза і знайдуть у структурі квазікристалів!

На цих знімках виділені однакові області, хоча це і фотографії з різних мечетей (ілюстрація Peter J. Lu).

В ісламській традиції існувала сувора заборона на зображення людей та тварин, тому в оформленні будівель велику популярність набув геометричний орнамент. Середньовічні майстри примудрялися якось робити його різноманітним. Але в чому був секрет їхньої "стратегії" - ніхто не знав. Так ось, секрет виявляється у використанні спеціальних мозаїк, які можуть, залишаючись симетричними, заповнювати площину, не повторюючись.

Інший «фокус» цих зображень у тому, що «копіюючи» такі схеми в різних храмах за кресленнями, митці неминуче мали б допустити спотворення. Але порушення цього характеру мінімальні. Пояснюється лише тим, що у масштабних кресленнях сенсу була: головне – принцип, яким будувати картину.

Для складання гірихів застосовували плитки п'яти видів (десяти- та п'ятикутні ромби та «метелики»), які у мозаїці складалися, прилягаючи одна до одної без вільного простору між ними. Мозаїки створені з них, могли мати як відразу обертальну і трансляційну симетрію, так і тільки обертальну симетрію п'ятого порядку (тобто були мозаїками Пенроуза).

Фрагмент орнаменту іранського мавзолею 1304 року. Справа – реконструкція гірихів (ілюстрація Peter J. Lu).

Зразком майже ідеальної квазікристалічної структури дослідники визнали святилище імама Дарб-і в іранському місті Ісфахані, датоване 1453 роком.

Це відкриття вразило багатьох. Американська асоціація сприяння розвитку науки (

Про існування мозаїки Пенроузазнає далеко не кожен, а тим більше, що ця дивовижна мозаїка іноді знаходиться буквально під ногами.
Коли ми з чоловіком гостимо в сім'ї сина у Фінляндії, звичайно ж, гуляємо затишним і доглянутим містом Гельсінкі. До програми нашого перебування обов'язково включається відвідування магазину Академічної книги Akateeminen Kirjakauppa, розташованого в центрі на вулиці Keskuskatu, що означає Центральна вулиця. Відвідування цієї книгарні приносить нам естетичне задоволення і, хоча книги у Фінляндії коштують дорого, завжди хочеться купити хоч невелику красиво ілюстровану книжечку про квіти та рослини.
Якось син, математик за фахом, порадив нам під час прогулянки цією пішохідною вулицею уважно розглянути мощення поверхні плитками. Він пояснив, що це мозаїка Пенроуза.

Всі ми, зрозуміло, бачили кахельну плитку. Найчастіше вона буває квадратною формою. З плиток викладають різні чудові візерунки.

Іноді використовують плитки різних форм та розмірів, але загальний вигляд покриття поверхні все одно квадратний.

Іноді плитки укладають зі зсувом або використовують неквадратні плитки.

Але всі ці візерунки все одно складаються з частин, що повторюються

На вулиці Keskuskatu в Гельсінкі плитки укладені так, що візерунок не повторюється.

До 1964 р. ніхто не вірив, що можна вигадати такий набір плиток, якими можна замостити площину, не повторюючи візерунка.
У 1964 р. математик Robert Berger вигадав такий набір. На жаль, у цьому наборі було 20426 плиток різних форм та розмірів.
Майже відразу ж він придумав, як зменшити кількість різних плиток у наборі до 104 видів.
В 1968 знаменитий математик Donald Knuth зменшив кількість різних плиток до 92.

У 1971 році Raphael Robinson придумав такий набір лише з шести плиток, якими можна замостити площину без повторень. Але навряд чи ви захочете використовувати їх у вашій ванній кімнаті.

У 1973 році англійський математик Roger Penrose придумав набір із шести красивих плиток. Якщо покрити цими плитками навіть дуже велику підлогу, візерунок не повториться.

Справжня популярність прийшла до Roger Penrose, коли він виявив, що достатньо всього двох типів плиток, щоб створити неповторний візерунок. Ці плитки є геометричні фігури - ромби, дещо відрізняються один від одного.
Це фотографія математика Roger Penrose на тлі поверхні, вкритої неповторним візерунком.
Замощення площини неповторним орнаментомз плиток тепер називають мозаїкою Пенроуза.

Отримане замощення має такий вигляд, ніби мозаїка має певну властивість симетрії, коли деяку частину геометричного візерунка можна переносити паралельно, не повертаючи, і частини поєднувати один з одним.

Насправді ж при уважному розгляді мозаїки Пенроуза можна побачити, що візерунок немає періодичності, водночас візерунок є хаотичним. Симетрія геометричного візерунка Пенроуза називається обертальною, а строго математично п'ятого порядку.

Протягом приблизно десяти років математичний винахід Roger Penrose не мав прикладного значення і був відомий переважно математикам. Але ізраїльський професор Dan Shechtman у 1984 році, який вивчає фізику твердого тіла, виявив дифракцію того самого п'ятого порядку на атомних ґратах алюмінієво-магнієвого сплаву. Під час обговорення цього явища вчені прийняли як математичну модель вже відому мозаїку Пенроуза.

Надалі з'ясувалося, що покриття поверхні геометричними фігурами без проміжків чи накладень друг на друга широко застосовувалося в ісламському мистецтві ще середньовіччі. В Азії мозаїчними геометричними орнаментами покривали мечеті. У старовинних манускриптах знайдено схеми, що свідчать про те, що візерунки, що прикрашають стіни, не є хаотичними, а складаються з певних фігур, які розташовані в строгому порядку. Оскільки ісламське мистецтво було під забороною зображення тварин чи людини, то давні майстри прикрашали храми геометричними орнаментами.
Викликає захоплення і здивування велику різноманітність орнаментів, що неповторюються. Причина полягає саме в тому, що використовувалися спеціальні види мозаїки, багато з яких мали ту саму обертальну симетрію п'ятого порядку, і фактично були мозаїками Пенроуза. Можна припустити, що роль математики була дуже важливою в середньовічному мистецтві Ісламу.

Нижче я пропоную для перегляду фотографії плиткового покриття мозаїкою Пенроузапішохідна вулиця Keskuskatu в Гельсінкі. Поверхня покрита плитками без проміжків або накладень, причому візерунок ніде не повторюється.

У 1973 році англійський математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) створив особливу мозаїку з геометричних фігур, яка так і стала називатися мозаїкою Пенроуза.
Мозаїка Пенроуза є візерунком, зібраним з багатокутних плиток двох певних форм (трохи різняться ромбів). Ними можна замостити нескінченну площину без пробілів.

Мозаїка Пенроуза у версії її автора.
Вона зібрана з ромбів двох типів,
один – з кутом 72 градуси, інший – з кутом 36 градусів.
Картина виходить симетрична, але з періодична.

Зображення виглядає так, ніби є якимось "ритмічним" орнаментом - картинкою, що володіє трансляційною симетрією. Такий тип симетрії означає, що у візерунку можна вибрати певний шматочок, який можна копіювати на площині, а потім поєднувати ці дублікати один з одним паралельним переносом (простіше кажучи, без повороту і без збільшення).

Це означає, що зображення можна повертати на мінімальний кут, рівний 360 / n градусів, де n - порядок симетрії, в даному випадку n = 5. Отже, кут повороту, який нічого не змінює, повинен бути кратний 360 / 5 = 72 градусів.

Попередні уявлення, що існували у фізиці твердого тіла, виключали таку можливість: структура дифракційної картини має симетрію п'ятого порядку. Її частини не можна поєднувати паралельним переносом, отже, це зовсім не кристал. Але дифракція характерна саме для кристалічних ґрат! Вчені домовилися про те, що цей варіант буде назватися квазікристалами - чимось на кшталт особливого стану речовини. Ну а вся краса відкриття у тому, що для нього вже давно була готова математична модель – мозаїка Пенроуза.

А зовсім недавно стало зрозуміло, що цієї математичної конструкції набагато більше років, ніж можна було собі уявити. У 2007 році Пітер Лу (Peter J. Lu), фізик з Гарварда (Harvard University) за компанію з іншим фізиком - Полом Стейнхардтом (Paul J. Steinhardt), але з Прінстона (Princeton University), - опублікував у Science статтю, присвячену мозаїкам Пенроуза. Здавалося б, несподіваного тут небагато: відкриття квазікристалів залучило живий інтерес до цієї теми, що призвело до появи купи публікацій у науковій пресі.

Однак особливість роботи в тому, що вона присвячена далеко не сучасній науці. Та й взагалі – не науці. Пітер Лу звернув увагу на візерунки, що покривають мечеті в Азії, побудовані ще в Середньовіччі. Ці легко відомі малюнки зроблені з мозаїчної плитки. Вони називаються гіріхи (від арабського слова "вузол") і є геометричним орнаментом, характерним для ісламського мистецтва і що складається з багатокутних фігур.

Зразок викладки плитки показаний в арабському манускрипті XV століття.
Квітами дослідники виділили повторювані області.
На основі цих п'яти елементів збудовані всі геометричні візерунки
середньовічних арабських майстрів. Повторювані елементи
не обов'язково збігаються з межами плиток.

В ісламському орнаменті виділяють два стилі: геометричний - гиріх, і рослинний - ісламі.
Гіріх(перс.) – складний геометричний орнамент, складений із стилізованих у прямокутні та полігональні фігури ліній. У більшості випадків використовується для зовнішнього оформлення мечетей та книг у великому виданні.
Іслімі(перс.) – вид орнаменту, побудованого на поєднанні берізки та спіралі. Втілює в стилізованій або натуралістичній формі ідею квітучої листяної втечі, що безперервно розвивається, і включає в себе нескінченну різноманітність варіантів. Найбільшого поширення він набув в одязі, книгах, внутрішній обробці мечетей, посуді.

Обкладинка Корану 1306-1315 років та промальовування геометричних фрагментів,
на яких ґрунтується візерунок. Цей та наступний приклади не відповідають
ґратами Пенроуза, але мають обертальну симетрію п'ятого порядку

До відкриття Пітера Лу вважалося, що стародавні архітектори створювали візерунки гіріха за допомогою лінійки та циркуля (якщо взагалі не по наїті). Однак кілька років тому, перебуваючи під час подорожі в Узбекистані, Лу зацікавився візерунками мозаїк, які прикрашали місцеву середньовічну архітектуру, і помітив щось знайоме. Повернувшись до Гарварду, учений став розглядати аналогічні мотиви у мозаїках на стінах середньовічних споруд Афганістану, Ірану, Іраку та Туреччини.

Цей зразок датований пізнішим періодом – 1622 (індійська мечеть).
Дивлячись на нього і промальовування його структури, не можна не захопитися працьовитістю
дослідників. І, звичайно, самих майстрів.

Пітер Лу виявив, що геометричні схеми гіріхів практично однакові, і зміг виділити основні елементи, що використовуються у всіх геометричних орнаментах. Крім того, він знайшов креслення цих зображень у старовинних манускриптах, якими древні художники користувалися своєрідною шпаргалкою для прикраси стін.
Для створення цих візерунків застосовували не прості, випадково вигадані контури, а фігури, які були розташовані у певному порядку. Стародавні візерунки виявились точними побудовами мозаїк Пенроуза!

На цих знімках виділені однакові області,
хоча це і фотографії з різних мечетей

Інший " фокус " цих зображень у цьому, що, " копіюючи " такі схеми у різних храмах за кресленнями, художники неминуче мали б допустити спотворення. Але порушення цього характеру мінімальні. Пояснюється лише тим, що у масштабних кресленнях сенсу була: головне – принцип, яким будувати картину.

Для складання гірихів застосовували плитки п'яти видів (десяти- та п'ятикутні ромби та "метелики"), які в мозаїці складалися, прилягаючи один до одного без вільного простору між ними. Мозаїки створені з них, могли мати як відразу обертальну і трансляційну симетрію, так і тільки обертальну симетрію п'ятого порядку (тобто були мозаїками Пенроуза).

Фрагмент орнаменту іранського мавзолею 1304 року. Праворуч – реконструкція гірихів

Дослідивши сотні фотографій середньовічних мусульманських пам'яток Лу зі Стейнхардтом змогли датувати появу подібної тенденції XIII століттям. Поступово цей спосіб набував все більшої популярності і до XV століття став широко поширеним. Датування приблизно збігається з періодом розвитку техніки декорування палаців, мечетей, різних важливих будівель глазурованою кольоровою керамічною плиткою у формі різних багатокутників. Тобто керамічну плитку спеціальних форм створювали саме для гірихів.

Портал святилища імама Дарб-і в Ісфахані (Іран).
Тут одна на одну накладено відразу дві системи гірихів.

Колона внутрішнього двору мечеті у Туреччині (близько 1200 року)
і стіни медресе в Ірані (1219). Це ранні твори,
і в них використовується всього два структурні елементи, знайдених Лу

Тепер залишається знайти відповіді на низку загадок в історії гіриха та мозаїк Пенроуза. Як і для чого давні математики відкрили квазікристалічні структури? Чи надавали середньовічні араби мозаїкам якийсь інший зміст, крім художнього? Чому така цікава математична концепція була забута на півтисячоліття? І найцікавіше – які ще сучасні відкриття є новим, яке насправді – добре забуте старе?