Algorytm konstrukcji mozaik Penrose’a – modele i kwazikryształy. Algorytm konstruowania mozaik Penrose'a - modele i kwazikryształy Mozaika symetryczna

09.01.2024

Uczestnicy projektu

Nikiforow Cyryl, uczeń ósmej klasy

Rudneva Oksana, uczennica ósmej klasy

Poturaeva Ksenia, uczennica ósmej klasy

Temat badań

Mozaika Penrose'a

Problematyczne pytanie

Co to jest mozaika Penrose'a?

Hipoteza badawcza

Występuje nieokresowa teselacja płaszczyzny

Cele badania

Zapoznaj się z mozaiką Penrose'a i dowiedz się, dlaczego nazywana jest ona „złotą” mozaiką

Wyniki

Mozaika Penrose'a

Płytka płaszczyznowa polega na pokryciu całej płaszczyzny nienakładającymi się na siebie kształtami. W matematyce problem całkowitego wypełnienia płaszczyzny wielokątami bez przerw i zakładek nazywa się parkietami lub mozaikami. Prawdopodobnie zainteresowanie kostką brukową zrodziło się w związku z budową mozaik, ozdób i innych wzorów. Nawet starożytni Grecy wiedzieli, że problem ten można łatwo rozwiązać, pokrywając płaszczyznę regularnymi trójkątami, kwadratami i sześciokątami.

To pochylenie płaszczyzny nazywa się okresowym. Później nauczyliśmy się układać płytki za pomocą kombinacji kilku wielokątów foremnych.

Trudniejszym zadaniem było stworzenie nie do końca „poprawnego” lub „prawie” okresowego parkietu. Przez długi czas panowało przekonanie, że ten problem nie ma rozwiązania. Jednak w latach 60-tych ubiegłego wieku udało się to ostatecznie rozwiązać, lecz wymagało to zestawu tysięcy wielokątów różnego typu. Stopniowo zmniejszano liczbę gatunków, aż w końcu w połowie lat 70. XX wieku profesor Uniwersytetu Oksfordzkiego Roger Penrose, wybitny naukowiec naszych czasów, aktywnie działający w różnych dziedzinach matematyki i fizyki, rozwiązał problem za pomocą tylko dwóch typów rombów.

Rogera Penrose’a

Zbadaliśmy metodę konstruowania takiej mozaiki, która obecnie nazywa się mozaiką Penrose'a. Aby to zrobić, narysuj przekątne w regularnym pięciokącie (pięciokącie). Otrzymujemy nowy pięciokąt i dwa rodzaje trójkątów równoramiennych, które nazywane są „złotymi”. Stosunek bioder do podstawy w takich trójkątach jest równy „złotej” proporcji. Kąty w trójkątach wynoszą 36°, 72° i 72° w jednym oraz 108°, 36° i 36° w drugim. Połączmy dwa identyczne trójkąty i otrzymajmy „złote” romby. Naukowiec wykorzystał je do budowy parkietu, a sam parkiet nazwano „złotym”.

Mozaika Penrose'a

Mozaika Penrose ma następujące właściwości:

1. stosunek liczby cienkich rombów do liczby grubych jest zawsze równy tzw. „złotej” liczbie 1,618...

Wyświetlenia: 367

W lutowym wydaniu magazynu Science z lutego 2007 roku ukazał się artykuł amerykańskich naukowców Petera Lu i Paula Steinhardta na temat średniowiecznej architektury islamskiej, który od razu stał się sensacją naukową. Zdaniem autorów artykułu mozaikowe wzory zdobiące ściany średniowiecznych mauzoleów, meczetów i pałaców powstały w oparciu o prawa matematyczne odkryte przez europejskich naukowców dopiero w latach 70. XX wieku. Wynika z tego jasno, że średniowieczni architekci wyprzedzali o kilka stuleci swoich europejskich kolegów.

To odkrycie, podobnie jak wiele innych rzeczy we współczesnej nauce, wydarzyło się całkowicie przez przypadek. W 2005 roku absolwent Uniwersytetu Harvarda, Peter Lu, przyjechał do Uzbekistanu w celach turystycznych. Podziwiając wystrój ścian mauzoleum Abdullakhana w Bucharze, dostrzegł w nim analogię do skomplikowanych struktur geometrycznych, które kiedyś studiował na uniwersytecie. Dziwne formy wzorów na licznych ozdobach Samarkandy tylko potwierdziły słuszność jego przypuszczeń. Po powrocie do domu opowiedział o swoim odkryciu swojemu promotorowi, profesorowi Uniwersytetu Princeton Paulowi Steinhardtowi.

Dokładne badania struktury malowideł ściennych i zdobnictwa średniowiecznych zabytków architektury muzułmańskiej w Uzbekistanie, Afganistanie, Iranie, Iraku, Turcji i Indiach potwierdziły słuszność przypuszczeń Petera Lu i stały się tematem wspomnianego sensacyjnego artykułu.

Aby zrozumieć sens odkrycia Petera Lu i Paula Steinhadta, należy zapoznać się z takimi pojęciami, jak problem parkietu, struktura quasikrystaliczna, złota liczba itp. Dlatego zacznijmy prezentację w kolejności.

Problem parkietu i struktury Penrose'a

W matematyce nazywa się problem całkowitego wypełnienia płaszczyzny wielokątami bez przerw i zakładek parkiety. Nawet starożytni Grecy wiedzieli, że problem ten można łatwo rozwiązać, pokrywając płaszczyznę regularnymi trójkątami, kwadratami i sześciokątami.

Jednocześnie regularne pięciokąty nie mogą służyć jako elementarne elementy parkietu, ponieważ nie można ich ściśle przylegać do siebie na płaszczyźnie bez szczelin. To samo można powiedzieć o siedmiu, ośmiu, dziewięciu, dziesięciu itd. kwadraty. Stopniowo wymyślano sposoby wypełniania płaszczyzny regularnymi wielokątami różnych typów i rozmiarów. Na przykład w ten sposób można wypełnić płaszczyznę, łącząc czworoboki i ośmiokąty o różnych rozmiarach:

Znacznie bardziej złożonym rozwinięciem tego problemu był warunek, aby struktura parkietu, złożona z kilku rodzajów wielokątów i całkowicie pokrywająca płaszczyznę, nie była całkiem „regularna” lub „prawie” okresowa. Przez długi czas panowało przekonanie, że ten problem nie ma rozwiązania. Jednak w latach 60-tych ubiegłego wieku udało się to ostatecznie rozwiązać, lecz wymagało to zestawu tysięcy wielokątów różnego typu. Stopniowo zmniejszano liczbę gatunków, aż wreszcie w połowie lat 70. profesor Uniwersytetu Oksfordzkiego Roger Penrose rozwiązał problem, używając tylko dwóch rodzajów diamentów. Poniżej przedstawiono wariant quasi-okresowego (czyli prawie okresowego) wypełniania płaszczyzny rombami o kątach ostrych 72 i 36°. Nazywa się je również diamentami „grubymi” i „cienkimi”.

Aby uzyskać nieokresowy wzór podczas układania diamentów, należy przestrzegać kilku nietrywialnych zasad ich łączenia. Okazało się, że ta pozornie prosta konstrukcja ma bardzo ciekawe właściwości. Na przykład, jeśli weźmiemy stosunek liczby cienkich rombów do liczby grubych, wówczas zawsze okaże się, że jest on równy tzw. „Złotemu podziałowi” 1,618... Ponieważ liczba ta jest „niedokładna” , i jak mówią matematycy, irracjonalna, struktura okazuje się nie okresowa, ale prawie okresowa. Co więcej, liczba ta określa relację między segmentami wewnątrz dziesięciokątów tworzących pięcioramienną gwiazdę - pentagram, który jest uważany za figurę geometryczną o idealnych proporcjach. Zwróć uwagę, że podświetlone dziesięciokąty mają tę samą orientację, co koordynuje i definiuje układ diamentów tworzących płytki Penrose. Zadziwiające, że ta czysto geometryczna konstrukcja okazała się najodpowiedniejszym modelem matematycznym do opisu kwazikryształów odkrytych w 1984 roku.

Co to są kwazikryształy

Umieściliśmy ten rozdział w naszym artykule, aby opowiedzieć kolejną ciekawą historię o tym, jak konstrukcja matematyczna, będąca owocem czystej wyobraźni naukowców, nieoczekiwanie znalazła ważne zastosowanie praktyczne.

Wszystkie substancje w przyrodzie można podzielić na dwa typy: amorficzne, w których nie ma regularności we wzajemnym ułożeniu atomów, oraz krystaliczne, charakteryzujące się ściśle uporządkowanym układem. Z praw krystalografii wynika, że dla kryształów możliwe są tylko osie symetrii pierwszego, drugiego, trzeciego, czwartego i szóstego rzędu, tj. Przez analogię do parkietu kryształy o symetrii piątego rzędu nie mogą istnieć w przyrodzie. Okoliczność ta została ściśle udowodniona na podstawie matematycznej teorii grup w przestrzeniach wielowymiarowych. Jednak natura, jak zawsze, okazała się znacznie bardziej pomysłowa i w 1984 roku opublikowano pracę grupy Shekhtmana, która doniosła o odkryciu stopu aluminiowo-manganowego o symetrii obrotowej piątego rzędu. Następnie zsyntetyzowano wiele podobnych stopów o nieznanych dotąd właściwościach. Stopy te nazwano kwazikryształami i obecnie uważa się je za substancje pośrednie między amorficzną i krystaliczną formą materii.

To dzięki temu odkryciu konstrukcja geometryczna Penrose'a, która okazała się najodpowiedniejszym narzędziem do modelowania struktury kwazikryształów, zyskała dużą popularność i była dalej rozwijana. I dlatego jest uwzględniany w kursach uniwersyteckich. Obecnie uzyskano już trójwymiarowe uogólnienie mozaiki Penrose'a, złożonej z cienkich i grubych romboedrów - figur sześciokątnych, których każda ściana jest rombem.

Jaka geometria leży u podstaw średniowiecznych mozaik

Po przeanalizowaniu około 3700 mozaik Lu i Steinhardt doszli do wniosku, że na przełomie XIII i XIII wieku technologia ozdabiania mauzoleów, meczetów i innych obiektów mozaikami okresowymi złożonymi z zestawu pięciu wielokątów, czyli dziesięciokąta, sześciokąt i muszka rozprzestrzeniły się po krajach muzułmańskich (terminologia autorów artykułu), pięciokąt i romb. Było to zasadniczo rozwiązanie problemu parkietu opisanego powyżej przy użyciu zestawu pięciu „muzułmańskich” wielokątów. Wzory składające się z takich wielokątów nazywane są „girikh” (z perskiego - węzeł).

Należy pamiętać, że ściany wszystkich wielokątów mają te same wymiary, co pozwala na łączenie ich z dowolnej strony. Dodatkowo na każdej płytce wielokątnej znajdują się linie dekoracyjne, ale narysowane są one według ścisłych zasad geometrycznych: dowolne dwie linie wzoru zbiegają się w środku każdego boku pod kątem 72 lub 108°, tj. wielokrotność 36°. Dzięki temu wzór pozostanie spójny podczas przechodzenia z jednej płytki na drugą.

Do zbudowania takiej mozaiki wystarczyło mieć do dyspozycji kompas i linijkę. Nawiasem mówiąc, przed odkryciem amerykańskich naukowców wierzono, że średniowieczni mistrzowie podczas tworzenia dekoracji budynków posługiwali się jedynie najprostszymi narzędziami, takimi jak linijka i kompas. Teraz stało się jasne, że nie jest to do końca prawdą.

XV wiek to najbardziej twórczy okres rozkwitu nauki i kultury w krajach rządzonych przez Timuridów. W tym czasie nastąpił skok jakościowy w sztuce zdobniczej. Potwierdza to fakt, że liczne zbadane zabytki, takie jak mauzoleum Darb-e-Imama w Iranie, grobowiec Hadż Abdullaha Ansariego w Heracie i inne, należą do epoki Timuridów.

Połączenie tradycyjnej już wówczas mozaiki girih z figurami geometrycznymi „strzałka” i „latawiec” (ponownie w terminologii Lu i Steinhardta) umożliwiło stworzenie

nieokresowe wzory przypominające mozaiki Penrose'a. Wynika z tego, że być może używali już w tym czasie bardziej wyrafinowanych narzędzi, ale jasne jest, że w XV wieku nastąpił skok koncepcyjny w technikach zdobniczych!

W kolejnych wywiadach po opublikowaniu artykułu Lu i Steinhardt zauważyli, że nie potrafią powiedzieć, w jakim stopniu sami średniowieczni architekci rozumieli szczegóły ich odkrycia, ale postrzegają je jako analogię do konstrukcji Penrose’a. I są absolutnie pewni, że to, co odkryli, nie może być przypadkowym zbiegiem okoliczności.

Dygresja liryczna

Zrobione. Udało mi się zrozumieć zawiłości wzorów geometrycznych, które nadają twórczości naszych przodków niepowtarzalne piękno i mam nadzieję, że w jakimś stopniu zaspokoiłem ciekawość naszych rodaków. Oczywiście pozostaje pewien rodzaj niezadowolenia, bo ja też setki razy zachwycałam się pięknem i elegancją ozdób Samarkandy. Dlaczego ta myśl nigdy nie przyszła mi do głowy? Na usprawiedliwienie mogę tylko powiedzieć, że kiedy quasiokresowa struktura Penrose'a została włączona do zajęć uniwersyteckich, pracowałem już nad rozprawą doktorską z mojej wąskiej specjalności. A Peter Lu ma dopiero 28 lat, a już przeszedł przez struktury Penrose'a na uniwersytecie. Oczywiście poznać i rozpoznać przejaw jakiegoś wzorca w zupełnie nieoczekiwanym miejscu to zupełnie różne rzeczy, ale żeby tego dokonać, trzeba przynajmniej wiedzieć, że takie prawo istnieje.

Ale nie o to chodzi w tej dygresji. Zrozumienie istoty artykułu w czasopiśmie Science zajęło mi dwa dni, a raczej dwie nieprzespane noce, ale powody, dla których nie zrobiłem tego wcześniej, mają, jak sądzę, głęboki sens filozoficzny. Kiedy w Internecie przeczytałem o artykule Lu i Steinhardta, od razu zadzwoniłem do kolegi, eksperta w dziedzinie geometrii. Od razu zrozumiał o co chodzi, ale zdenerwował mnie mówiąc, że złapałem go przed wyjazdem na lotnisko. Dowiedziawszy się, że wraca z zagranicznej podróży służbowej dopiero po trzech miesiącach, poprosiłem go, aby chociaż polecił mi jakąś książkę, w której mógłbym poczytać o konstrukcjach Penrose'a. Opowiedział mi książkę i dodał, że jest to bardzo złożona matematyka i jest mało prawdopodobne, że uda się wszystko szybko zrozumieć, a tym bardziej popularnie wyjaśnić zwykłym ludziom. Kiedy kartkowałem poleconą mi książkę, wypełnioną takimi pojęciami jak wielowymiarowe przestrzenie niezmiennicze, przestrzeń czynnikowa sprzężonej przestrzeni irracjonalnej, mój entuzjazm szybko opadł.

Po raporcie agencji prasowej Jahon zainteresowanie naszego środowiska naukowego, i nie tylko naukowego, tą kwestią zaczęło rosnąć lawinowo. Wśród uczonych Akademii Nauk i Uniwersytetu Narodowego byli oczywiście specjaliści, którzy rozumieją złożone zagadnienia algebr Liego, teorii grup, symetrii wielowymiarowych itp. Wszyscy jednak byli zgodni co do tego, że nie da się tych rzeczy wytłumaczyć potocznie. Któregoś dnia nagle przyszła mi do głowy trywialna myśl: poczekaj. Ale jak na to wpadli średniowieczni architekci, skoro nie mieli najpotężniejszego aparatu współczesnej matematyki? Tym razem postanowiłem spróbować to zrozumieć nie poprzez skomplikowany aparat matematyczny quasiokresowej struktury Penrose'a, która okazała się dla mnie ciemnym lasem, ale podążając ścieżką średniowiecznych architektów. Najpierw pobrałem z Internetu oryginalny artykuł Lu i Steinhardta. Ich metoda mnie zadziwiła. Aby wyjaśnić istotę swojego odkrycia, oni również poszli właśnie tą drogą, tj. posługiwanie się aparatem pojęciowym średniowiecznych architektów i operowanie tak prostymi rzeczami, jak mozaika „girikh”, płytki „strzałki”, „latawiec” itp.

Filozoficzny sens tego wszystkiego jest taki, że aby zrozumieć prawa natury (i być może społeczeństwa), nie jest konieczne, aby wszyscy podążali tą samą ścieżką. Myślenie ludzkie jest również wielowymiarowe. Jest podejście wschodnie i jest podejście zachodnie. I każdy z nich ma prawo istnieć i w konkretnym przypadku może niespodziewanie okazać się skuteczniejszy niż odwrotnie. Tak właśnie stało się w tym przypadku: to, co nauka zachodnia zdołała odkryć na podstawie ogromnego uogólnienia drażliwych doświadczeń, nauka Wschodu dokonała w oparciu o intuicję i poczucie piękna. A rezultaty są oczywiste: we wdrażaniu praw geometrii w praktyce myśliciele Wschodu wyprzedzili zachodnich o pięć wieków!

Szuchrat Egamberdiew.
Instytut Astronomiczny Akademii Nauk Republiki Uzbekistanu.

Pełny tekst artykułu wraz z kolorowymi ilustracjami można znaleźć w kolejnym (artykuł powstał w 2008 r. UE) numerze magazynu „Fan va turmush” – „Nauka i Życie Uzbekistanu”.

Wstyd! Ludzie średniowiecza przewyższyli współczesnych naukowców. Myśleliśmy, że zaawansowana matematyka i krystalografia to nasze osiągnięcia. Okazuje się, że nic takiego nie istnieje – wszystko to wydarzyło się pół tysiąca lat temu. Ponadto wydaje się, że współczesną naukę prześcignęli nie najlepsi matematycy, ale zwykli artyści. No, może nie bardzo proste... Ale jednak!

Nie, naprawdę, współcześni matematycy robią kompletne bzdury! Albo składają papier 12 razy, potem szydełkują równania Lorentza, albo skręcają kulki w pączki. Ogólnie rzecz biorąc, pozostały tylko poważne osoby to Perelman i Okunow - w nich cała nadzieja...

Ale ciekawe, że ludzie w starożytności dokonywali osiągnięć matematycznych, czasami nie przywiązując do nich szczególnej wagi. Ciekawe jest również to, że naukowcy powtarzają dziś te same „starożytne” odkrycia, wcale nie podejrzewając, że wymyślają coś, co istniało bez ich domysłów od wieków.

Na przykład angielski matematyk Roger Penrose wymyślił coś takiego w 1973 roku - specjalną mozaikę geometrycznych kształtów. W związku z tym stała się znana jako mozaika Penrose'a. Co jest w nim takiego specyficznego?

Mozaika Penrose według jej twórcy. Składa się z dwóch rodzajów rombów, jednego o kącie 72 stopni, drugiego o kącie 36 stopni. Obraz, jaki tworzy, jest symetryczny, ale nie okresowy (ilustracja z en.wikipedia.org).

Mozaika Penrose to wzór złożony z wielokątnych płytek o dwóch określonych kształtach (nieco różniących się rombami). Potrafią utorować nieskończoną płaszczyznę bez przerw.

Powstały obraz wygląda jak swego rodzaju „rytmiczna” ozdoba – obraz o symetrii translacyjnej. Ten rodzaj symetrii polega na tym, że można wybrać konkretny fragment wzoru, który można „skopiować” na płaszczyźnie, a następnie połączyć te „duplikaty” ze sobą poprzez przeniesienie równoległe (czyli bez rotacji i bez powiększania).

Jeśli jednak przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że wzór Penrose'a nie ma takich powtarzających się struktur - jest aperiodyczny. Ale nie chodzi o złudzenie optyczne, ale o to, że mozaika nie jest chaotyczna: ma symetrię obrotową piątego rzędu.

Przykładami kwazicystali są stop AlMnPd i Al 60 Li 30 Cu 10 (ilustracja: Paul J. Steinhardt).

Oznacza to, że obraz można obrócić o minimalny kąt 360/ N stopni, gdzie N– w tym przypadku rząd symetrii N= 5. Zatem kąt obrotu, który niczego nie zmienia, musi być wielokrotnością 360 / 5 = 72 stopnie.

Przez około dziesięć lat wynalazek Penrose'a był uważany za po prostu uroczą abstrakcję matematyczną. Jednak w 1984 roku Dan Shechtman, profesor Izraelskiego Instytutu Technologii (Technion), badając strukturę stopu aluminiowo-magnezowego, odkrył, że na siatce atomowej tej substancji zachodzi dyfrakcja.

Jak możemy tu być? Pytanie nie jest łatwe, dlatego naukowcy zgodzili się, że tę opcję nazwiemy kwazikryształami – czymś w rodzaju specjalnego stanu materii.

Tutaj pokazany jest jeden z przykładów ułożenia płytek przedstawiony w XV-wiecznym arabskim rękopisie. Naukowcy wykorzystali kolory, aby podkreślić powtarzające się obszary. Wszystkie wzory geometryczne średniowiecznych mistrzów arabskich, studiowane przez Lu i Steinhardta, zbudowane są w oparciu o tych pięć elementów. Jak widać, powtarzające się elementy niekoniecznie pokrywają się z granicami płytek (ilustracja: Peter J. Lu).

Cóż, piękno odkrycia, jak się domyślacie, polega na tym, że model matematyczny dla niego jest gotowy od dawna. I, jak zapewne zauważyłeś, jest to mozaika Penrose'a. Ale ten wcale nie ma dziesięciu lat, ale znacznie starszy. Stało się to znane dopiero za naszych czasów, u zarania XXI wieku, a model ten okazał się znacznie starszy, niż można było sobie wyobrazić.

W 2007 roku Peter J. Lu, fizyk z Harvard University, wraz z innym fizykiem, Paulem J. Steinhardtem, ale z Princeton University, opublikowali w Science artykuł na temat mozaiki Penrose (Lou powinien być znany stałym czytelnikom Membrane - mamy mówił już o swoich odkryciach dotyczących diamentowego cięcia starożytnych toporów i skomplikowanych starożytnych maszyn). Wydawać by się mogło, że nie ma tu nic nieoczekiwanego: odkrycie kwazikryształów wzbudziło duże zainteresowanie tym tematem, co zaowocowało pojawieniem się szeregu publikacji w prasie naukowej.

Najważniejszym jednak elementem pracy jest to, że nie jest ona poświęcona współczesnej nauce. I w ogóle - nie nauka.

Wzory „kwazikrystaliczne” znalazły swoje miejsce nie tylko w architekturze. Tutaj widzisz okładkę Koranu z lat 1306-1315 i rysunek fragmentów geometrycznych, na których oparty jest wzór. Ten i poniższe przykłady nie odpowiadają kratom Penrose'a, ale mają symetrię obrotową piątego rzędu (ilustracja: Peter J. Lu).

Lu zwrócił uwagę na wzory pokrywające meczety w Azji, budowane w średniowieczu. Te łatwo rozpoznawalne wzory wykonane są z mozaiki. Nazywają się girihi (od arabskiego słowa oznaczającego „węzeł”) i są geometrycznym wzorem charakterystycznym dla sztuki islamu i składającym się z wielokątnych kształtów.

Przez długi czas wierzono, że wzory te tworzy się za pomocą linijki i kompasu. Jednak kilka lat temu, podróżując po Uzbekistanie, Lou zainteresował się mozaikowymi wzorami zdobiącymi lokalną średniowieczną architekturę i zauważył w nich coś znajomego.

Wracając na Harvard, naukowiec zaczął badać podobne motywy w mozaikach na ścianach średniowiecznych budynków w Afganistanie, Iranie, Iraku i Turcji.

Stwierdził, że wzory te są prawie identyczne i był w stanie zidentyfikować podstawowe elementy girikhów stosowanych we wszystkich projektach geometrycznych. Ponadto znalazł rysunki tych obrazów w starożytnych rękopisach, które starożytni artyści używali jako swego rodzaju ściągawki do dekoracji ścian.

Ale to wszystko, jak się okazuje, nie jest tak ważne. Do stworzenia tych wzorów wykorzystano nie proste, przypadkowo wymyślone kontury, ale figury ułożone w określonej kolejności. I nie jest to szczególnie zaskakujące.

Co ciekawe, ludzie zapomniawszy o takich schematach, później zetknęli się z nimi ponownie. Tak, tak, starożytne wzory to nic innego jak to, co wieki później nazwiemy sieciami Penrose'a i które znajdziemy w strukturze kwazikryształów!

Obrazy te przedstawiają podobne obszary, chociaż pochodzą z bardzo różnych meczetów (ilustracja: Peter J. Lu).

W tradycji islamskiej obowiązywał surowy zakaz przedstawiania ludzi i zwierząt, dlatego wzory geometryczne stały się bardzo popularne w projektowaniu budynków. Średniowiecznym mistrzom udało się to jakoś urozmaicić. Ale nikt nie wiedział, jaki jest sekret ich „strategii”. Sekretem okazuje się więc zastosowanie specjalnych mozaik, które zachowując symetryczność, potrafią wypełnić płaszczyznę bez powtarzania się.

Kolejna „sztuczka” tych obrazów polega na tym, że „kopiując” takie schematy w różnych świątyniach według rysunków, artyści nieuchronnie musieliby dopuścić do zniekształceń. Ale naruszenia tego rodzaju są minimalne. Można to wytłumaczyć jedynie faktem, że rysunki na dużą skalę nie miały sensu: najważniejsza była zasada budowania obrazu.

Do montażu girików wykorzystano pięć rodzajów płytek (romby dziesięcio- i pięciokątne oraz „motyle”), które ułożono w mozaikę przylegającą do siebie, bez wolnej przestrzeni pomiędzy nimi. Tworzone z nich mozaiki mogły mieć jednocześnie symetrię obrotową i translacyjną lub tylko symetrię obrotową piątego rzędu (czyli były to mozaiki Penrose'a).

Fragment ozdoby irańskiego mauzoleum z 1304 roku. Po prawej rekonstrukcja girikhów (ilustracja: Peter J. Lu).

Za przykład niemal idealnej struktury kwazikrystalicznej badacze uznali sanktuarium Imama Darb-i w irańskim mieście Isfahan z 1453 roku.

To odkrycie zrobiło wrażenie na wielu osobach. Amerykańskie Stowarzyszenie Postępu Nauki (

O istnieniu Mozaiki Penrose'a Nie wszyscy wiedzą, a tym bardziej, że ta niesamowita mozaika czasami jest dosłownie pod nogami.
Kiedy z mężem odwiedzamy rodzinę naszego syna w Finlandii, oczywiście spacerujemy po przytulnym i zadbanym mieście Helsinki. W programie naszego pobytu obowiązkowo znajduje się wizyta w Księgarni Akademickiej Akateeminen Kirjakauppa, zlokalizowanej w centrum miasta przy ulicy Keskuskatu, co po rosyjsku oznacza ulicę Centralną. Wizyta w tej księgarni sprawia nam przyjemność estetyczną i choć książki w Finlandii są drogie, zawsze chcemy kupić chociaż małą, pięknie ilustrowaną książeczkę o kwiatach i roślinach.
Któregoś dnia mój syn, z zawodu matematyk, poradził nam, abyśmy idąc tym deptakiem dokładnie się zastanowili ułożenie powierzchni płytkami. Wyjaśnił, co to jest Mozaika Penrose'a.

Oczywiście wszyscy widzieliśmy płytki. Najczęściej ma kształt kwadratu. Płytki ułożone są w różne piękne wzory.

Czasami stosuje się płytki o różnych kształtach i rozmiarach, ale ogólny wygląd pokrycia powierzchni jest nadal kwadratowy.

Czasami płytki układa się z przesunięciem lub stosuje się płytki niekwadratowe

Ale wszystkie te wzorce nadal składają się z powtarzających się części

Na ulicy Keskuskatu w Helsinkach płytki układane są w ten sposób wzór się nie powtarza.

Do 1964 roku nikt nie wierzył, że można stworzyć taki zestaw płytek, z którego można ułożyć płaszczyznę bez powtarzania wzoru.
W 1964 roku matematyk Robert Berger wymyślił taki zestaw. Niestety w tym zestawie znajdowało się 20 426 płytek o różnych kształtach i rozmiarach.
Niemal natychmiast wymyślił, jak zmniejszyć liczbę różnych płytek w zestawie do 104 rodzajów.
W 1968 roku słynny matematyk Donald Knuth zmniejszył liczbę różnych płytek do 92.

W 1971 roku Raphael Robinson wymyślił zestaw zaledwie sześciu płytek, którymi można pokryć powierzchnię bez powtórzeń. Ale prawdopodobnie nie będziesz chciał ich używać w swojej łazience.

W 1973 roku angielski matematyk Roger Penrose wymyślił zestaw sześciu pięknych płytek. Jeśli pokryjesz tymi płytkami nawet bardzo dużą podłogę, wzór się nie powtórzy.

Prawdziwą sławę przyniósł Roger Penrose, gdy odkrył, że wystarczą tylko dwa rodzaje płytek, aby stworzyć niepowtarzalny wzór. Płytki te to geometryczne kształty – romby, nieco różniące się od siebie.
To jest zdjęcie matematyka Rogera Penrose'a na tle powierzchni pokrytej niepowtarzalnym wzorem.
Układanie samolotu ozdoba niepowtarzalna wykonane z płytek nazywa się obecnie Mozaika Penrose'a.

Powstałe płytki wyglądają tak, jakby mozaika miała pewną właściwość symetrii, gdy część wzoru geometrycznego można przenieść równolegle bez obracania, a części można ze sobą łączyć.

Rzeczywiście, po dokładnym zbadaniu mozaiki Penrose'a można zauważyć, że wzór nie ma okresowości, ale jednocześnie nie jest chaotyczny. Symetria wzoru geometrycznego Penrose'a nazywana jest rotacyjną i ściśle matematycznie piątym rzędem.

Przez około dziesięć lat matematyczny wynalazek Rogera Penrose'a nie miał żadnego praktycznego znaczenia i był znany głównie matematykom. Jednak w 1984 roku izraelski profesor Dan Shechtman, studiujący fizykę ciała stałego, odkrył dyfrakcję tego samego piątego rzędu na siatce atomowej stopu aluminiowo-magnezowego. Omawiając to zjawisko, naukowcy przyjęli jako model matematyczny znaną już mozaikę Penrose'a.

Później okazało się, że pokrywanie powierzchni figurami geometrycznymi bez przerw i zakładek było szeroko stosowane w sztuce islamu już w średniowieczu. W Azji meczety pokrywano mozaikowymi wzorami geometrycznymi. W starożytnych rękopisach odnaleziono diagramy wskazujące, że wzory zdobiące ściany nie są chaotyczne, ale składają się z pewnych figur ułożonych w ściśle określonym porządku. Ponieważ sztuce islamskiej zakazano przedstawiania zwierząt i ludzi, starożytni mistrzowie dekorowali świątynie geometrycznymi wzorami.
Różnorodność niepowtarzalnych wzorów budzi podziw i zaskoczenie. Powodem jest właśnie to, że zastosowano specjalne rodzaje mozaik, z których wiele miało tę samą symetrię obrotową piątego rzędu i były w rzeczywistości mozaikami Penrose'a. Można przypuszczać, że rola matematyki była bardzo ważna w średniowiecznej sztuce islamu.

Poniżej oferuję zdjęcia do wglądu Płytki mozaikowe Penrose deptak Keskuskatu w Helsinkach. Powierzchnia pokryta jest płytkami bez szczelin i zakładek, natomiast wzór nie jest nigdzie powtarzany.

W 1973 roku angielski matematyk Roger Penrose stworzył specjalną mozaikę geometrycznych kształtów, która stała się znana jako mozaika Penrose'a.
Mozaika Penrose to wzór złożony z wielokątnych płytek o dwóch określonych kształtach (nieco różniących się rombami). Potrafią utorować nieskończoną płaszczyznę bez przerw.

Mozaika Penrose według jej twórcy.
Składa się z dwóch rodzajów rombów,
jeden o kącie 72 stopni, drugi o kącie 36 stopni.
Obraz okazuje się symetryczny, ale nie okresowy.

Oznacza to, że obraz można obrócić o minimalny kąt równy 360/n stopni, gdzie n jest rzędem symetrii, w tym przypadku n = 5. Zatem kąt obrotu, który niczego nie zmienia, musi być wielokrotnością 360/5 = 72 stopnie.

Poprzednie koncepcje istniejące w fizyce ciała stałego wykluczały tę możliwość: struktura obrazu dyfrakcyjnego ma symetrię piątego rzędu. Jego części nie da się połączyć poprzez przeniesienie równoległe, co oznacza, że w ogóle nie jest kryształem. Ale dyfrakcja jest charakterystyczna dla sieci krystalicznej! Naukowcy zgodzili się, że tę opcję można nazwać kwazikryształami – czymś w rodzaju specjalnego stanu materii. Cóż, piękno odkrycia polega na tym, że od dawna był gotowy model matematyczny – mozaika Penrose’a.

Całkiem niedawno stało się jasne, że ta konstrukcja matematyczna jest znacznie starsza, niż można by sobie wyobrazić. W 2007 roku Peter J. Lu, fizyk z Harvard University, wraz z innym fizykiem, Paulem J. Steinhardtem, ale z Princeton University, opublikowali w Science artykuł na temat mozaik Penrose. Wydawać by się mogło, że nie ma tu nic nieoczekiwanego: odkrycie kwazikryształów wzbudziło duże zainteresowanie tym tematem, co zaowocowało pojawieniem się szeregu publikacji w prasie naukowej.

Najważniejszym jednak elementem pracy jest to, że nie jest ona poświęcona współczesnej nauce. I w ogóle - nie nauka. Peter Lu zwrócił uwagę na wzory pokrywające meczety w Azji, budowane w średniowieczu. Te łatwo rozpoznawalne wzory wykonane są z mozaiki. Nazywają się girihi (od arabskiego słowa oznaczającego „węzeł”) i są wzorem geometrycznym charakterystycznym dla sztuki islamu i składającym się z wielokątnych kształtów.

Przykład układu płytek przedstawiony w XV-wiecznym rękopisie arabskim.
Naukowcy wykorzystali kolory, aby podkreślić powtarzające się obszary.
Wszystkie wzory geometryczne budowane są w oparciu o te pięć elementów.
średniowiecznych mistrzów arabskich. Powtarzające się elementy
niekoniecznie pokrywają się z granicami płytek.

Istnieją dwa style islamskiego ornamentu: geometryczny - girikh i kwiatowy - islimi.
Girich(pers.) - złożony wzór geometryczny złożony z linii stylizowanych na kształty prostokątne i wielokątne. W większości przypadków służy do dekoracji zewnętrznej meczetów i książek w dużych publikacjach.
Islimi(pers.) – rodzaj ozdoby zbudowanej na połączeniu powoju i spirali. Ucieleśnia w stylizowanej lub naturalistycznej formie ideę stale rozwijającej się sesji kwitnących liści i obejmuje nieskończoną różnorodność opcji. Najbardziej rozpowszechniony jest w odzieży, książkach, dekoracji wnętrz meczetów i naczyniach.

Okładka Koranu z lat 1306-1315 i rysunek fragmentów geometrycznych,
na którym opiera się wzór. Ten i poniższe przykłady nie pasują do siebie
Kraty Penrose'a, ale mają symetrię obrotową piątego rzędu

Przed odkryciem Petera Lu wierzono, że starożytni architekci tworzyli wzory giriha za pomocą linijki i kompasu (jeśli nie z inspiracji). Jednak kilka lat temu, podróżując po Uzbekistanie, Lou zainteresował się mozaikowymi wzorami zdobiącymi lokalną średniowieczną architekturę i zauważył w nich coś znajomego. Wracając na Harvard, naukowiec zaczął badać podobne motywy w mozaikach na ścianach średniowiecznych budynków w Afganistanie, Iranie, Iraku i Turcji.

Przykład ten datowany jest na okres późniejszy – rok 1622 (meczet indyjski).
Patrząc na niego i na rysunek jego konstrukcji, nie sposób nie podziwiać ciężkiej pracy
badacze. I oczywiście sami mistrzowie.

Peter Lu odkrył, że wzory geometryczne girikhów są niemal identyczne i był w stanie zidentyfikować podstawowe elementy stosowane we wszystkich projektach geometrycznych. Ponadto znalazł rysunki tych obrazów w starożytnych rękopisach, które starożytni artyści używali jako swego rodzaju ściągawki do dekoracji ścian.
Do stworzenia tych wzorów wykorzystano nie proste, przypadkowo wymyślone kontury, ale figury ułożone w określonej kolejności. Starożytne wzory okazały się dokładnymi konstrukcjami mozaiki Penrose'a!

Obrazy te podkreślają te same obszary,
chociaż są to fotografie z różnych meczetów

Fragment ozdoby irańskiego mauzoleum z 1304 roku. Po prawej – rekonstrukcja girików

Po zbadaniu setek fotografii średniowiecznych miejsc muzułmańskich Lu i Steinhardt byli w stanie datować ten trend na XIII wiek. Stopniowo metoda ta zyskiwała coraz większą popularność i w XV wieku stała się powszechna. Datowanie z grubsza pokrywa się z okresem rozwoju techniki zdobienia pałaców, meczetów i różnych ważnych budynków szkliwionymi kolorowymi płytkami ceramicznymi w kształcie różnych wielokątów. Oznacza to, że płytki ceramiczne o specjalnych kształtach zostały stworzone specjalnie dla girikhów.

Za przykład niemal idealnej struktury kwazikrystalicznej badacze uznali sanktuarium Imama Darb-i w irańskim mieście Isfahan z 1453 roku.

Portal świątyni Imama Darb-i w Isfahanie (Iran).
Tutaj dwa systemy girikhów nakładają się na siebie.

Kolumna z dziedzińca meczetu w Turcji (ok. 1200 r.)
i ściany medresy w Iranie (1219). To wczesne prace
i wykorzystują tylko dwa elementy konstrukcyjne znalezione przez Lu

Teraz pozostaje znaleźć odpowiedzi na szereg tajemnic w historii mozaik Girikh i Penrose. Jak i dlaczego starożytni matematycy odkryli struktury kwazikrystaliczne? Czy średniowieczni Arabowie nadali mozaikom inne znaczenie niż artystyczne? Dlaczego tak interesująca koncepcja matematyczna została zapomniana na pół tysiąclecia? A najciekawsze jest to, jakie inne współczesne odkrycia są nowe, a które w rzeczywistości są dobrze zapomnianymi starymi?