Algoritmo per la costruzione di mosaici di Penrose: modelli e quasicristalli. Algoritmo per la costruzione dei mosaici di Penrose - modelli e quasicristalli Mosaico simmetrico

09.01.2024

Partecipanti al progetto

Nikiforov Kirill, studente di terza media

Rudneva Oksana, studentessa dell'ottavo anno

Poturaeva Ksenia, studentessa dell'ottavo anno

Argomento di ricerca

Mosaico di Penrose

Domanda problematica

Cos'è un mosaico di Penrose?

Ipotesi di ricerca

C'è una tassellatura non periodica del piano

Obiettivi dello studio

Conosci il mosaico Penrose e scopri perché è chiamato il mosaico "d'oro".

Risultati

Mosaico di Penrose

La piastrellatura del piano copre l'intero piano con forme non sovrapposte. In matematica, il problema di riempire completamente un piano con poligoni senza lacune o sovrapposizioni si chiama parquet o mosaico. Probabilmente, l'interesse per la pavimentazione è nato inizialmente in relazione alla costruzione di mosaici, ornamenti e altri motivi. Anche gli antichi greci sapevano che questo problema si risolveva facilmente ricoprendo il piano con triangoli, quadrati ed esagoni regolari.

Questa piastrellatura del piano è detta periodica. Successivamente abbiamo imparato come eseguire la piastrellatura utilizzando una combinazione di diversi poligoni regolari.

Un compito più difficile è stata la creazione di un parquet periodico non del tutto “corretto” o “quasi”. Per molto tempo si è creduto che questo problema non avesse soluzione. Tuttavia, negli anni '60 del secolo scorso il problema fu finalmente risolto, ma ciò richiese un insieme di migliaia di poligoni di vario tipo. Passo dopo passo, il numero delle specie è stato ridotto e, infine, a metà degli anni '70, il professor Roger Penrose dell'Università di Oxford, uno scienziato eccezionale del nostro tempo, che ha lavorato attivamente in vari campi della matematica e della fisica, ha risolto il problema utilizzando solo due tipi di rombi.

Roger Penrose

Abbiamo studiato un metodo per costruire un mosaico di questo tipo, che ora è chiamato mosaico di Penrose. Per fare ciò, disegna le diagonali in un pentagono regolare (pentagono). Otteniamo un nuovo pentagono e due tipi di triangoli isosceli, chiamati "dorati". Il rapporto tra l'anca e la base in tali triangoli è uguale alla proporzione "aurea". Gli angoli nei triangoli sono 36°, 72° e 72° in uno e 108°, 36° e 36° nell'altro. Colleghiamo due triangoli identici e otteniamo rombi "dorati". Lo scienziato li usò nella costruzione del parquet e il parquet stesso fu chiamato "d'oro".

Mosaico di Penrose

Il mosaico di Penrose ha le seguenti proprietà:

1. il rapporto tra il numero dei rombi sottili e il numero di quelli spessi è sempre pari al cosiddetto numero “aureo” 1.618...

Nel numero di febbraio 2007 della rivista Science è apparso un articolo degli scienziati americani Peter Lu e Paul Steinhardt sull'architettura islamica medievale, che è diventato immediatamente una sensazione scientifica. Secondo gli autori dell'articolo, i modelli di mosaico che decorano le pareti di mausolei, moschee e palazzi medievali sono stati realizzati utilizzando leggi matematiche scoperte dagli scienziati europei solo negli anni '70 del XX secolo. Da ciò consegue chiaramente che gli architetti medievali erano diversi secoli avanti rispetto ai loro colleghi europei.

Questa scoperta, come molte cose nella scienza moderna, è avvenuta completamente per caso. Nel 2005, lo studente laureato dell'Università di Harvard Peter Lu venne in Uzbekistan come turista. Ammirando la decorazione murale del mausoleo di Abdullakhan a Bukhara, vide in esso un analogo delle complesse strutture geometriche che una volta aveva studiato all'università. Le forme bizzarre dei motivi su numerosi ornamenti di Samarcanda confermarono solo la correttezza della sua ipotesi. Al suo ritorno a casa, raccontò della sua scoperta al suo relatore della tesi, il professore dell'Università di Princeton Paul Steinhardt.

Uno studio approfondito della struttura dei dipinti murali e degli ornamenti dei monumenti architettonici musulmani medievali in Uzbekistan, Afghanistan, Iran, Iraq, Turchia e India ha confermato la correttezza dell'ipotesi di Peter Lu ed è diventato oggetto dell'articolo sensazionale sopra menzionato.

Per comprendere il significato della scoperta di Peter Lu e Paul Steinhadt, si dovrebbero familiarizzare con concetti come il problema del parquet, la struttura quasicristallina, il numero aureo, ecc. Cominciamo quindi la presentazione con ordine.

Il problema del parquet e le strutture di Penrose

In matematica, si chiama il problema di riempire completamente un piano con poligoni senza lacune o sovrapposizioni parquet. Anche gli antichi greci sapevano che questo problema si risolveva facilmente ricoprendo il piano con triangoli, quadrati ed esagoni regolari.

Allo stesso tempo, i pentagoni regolari non possono servire come elementi elementari del parquet, poiché non possono essere fissati l'uno all'altro su un piano senza spazi vuoti. Lo stesso si può dire di sette, otto, nove, dieci, ecc. piazze. A poco a poco furono inventati modi per riempire il piano con poligoni regolari di diverso tipo e dimensione. Ad esempio, ecco come riempire un piano combinando quadrilateri e ottagoni di diverse dimensioni:

Uno sviluppo molto più complesso di questo problema era la condizione che la struttura del parquet, composta da diversi tipi di poligoni e che ricopriva completamente il piano, non fosse del tutto “regolare” o “quasi” periodica. Per molto tempo si è creduto che questo problema non avesse soluzione. Tuttavia, negli anni '60 del secolo scorso il problema fu finalmente risolto, ma ciò richiese un insieme di migliaia di poligoni di vario tipo. Passo dopo passo, il numero delle specie venne ridotto e finalmente, a metà degli anni '70, il professore dell'Università di Oxford Roger Penrose risolse il problema utilizzando solo due tipi di diamanti. Di seguito è mostrata una variante del quasiperiodico (cioè quasi periodico) riempiendo il piano con rombi con angoli acuti di 72 e 36°. Sono anche chiamati diamanti “spessi” e “sottili”.

Per ottenere uno schema non periodico nella disposizione dei diamanti, è necessario rispettare alcune regole non banali per la loro combinazione. Si è scoperto che questa struttura apparentemente semplice ha proprietà molto interessanti. Ad esempio, se prendiamo il rapporto tra il numero di rombi sottili e il numero di quelli spessi, risulta sempre uguale al cosiddetto "rapporto aureo" 1.618... Poiché questo numero "non è esatto" , e come dicono i matematici, irrazionale, la struttura risulta non essere periodica, ma quasi periodica. Inoltre, questo numero determina la relazione tra i segmenti all'interno dei decagoni che formano una stella a cinque punte - un pentagramma, che è considerata una figura geometrica con proporzioni ideali. Si noti che i decagoni evidenziati hanno lo stesso orientamento, che coordina e definisce la disposizione dei diamanti che compongono la piastrellatura di Penrose. È sorprendente che questa costruzione puramente geometrica si sia rivelata il modello matematico più adatto per descrivere i quasicristalli scoperti nel 1984.

Cosa sono i quasicristalli

Abbiamo incluso questa sezione nel nostro articolo per raccontare un'altra storia interessante su come una costruzione matematica, frutto della pura immaginazione degli scienziati, abbia trovato inaspettatamente un'importante applicazione pratica.

Tutte le sostanze in natura possono essere divise in due tipi: amorfe, in cui non esiste regolarità nella disposizione reciproca degli atomi, e cristalline, caratterizzate dalla loro disposizione rigorosamente ordinata. Dalle leggi della cristallografia ne consegue che per i cristalli sono possibili solo assi di simmetria del primo, secondo, terzo, quarto e sesto ordine, cioè Per analogia con il parquet, in natura non possono esistere cristalli con simmetria del quinto ordine. Questa circostanza è stata rigorosamente dimostrata sulla base della teoria matematica dei gruppi in spazi multidimensionali. Ma la natura, come sempre, si rivelò molto più inventiva, e nel 1984 fu pubblicato il lavoro del gruppo di Shekhtman, che riportava la scoperta di una lega di alluminio-manganese con simmetria rotazionale del quinto ordine. Successivamente furono sintetizzate molte leghe simili con proprietà fino ad allora sconosciute. Queste leghe erano chiamate quasicristalli e ora sono considerate intermedie tra le forme di materia amorfa e cristallina.

Fu grazie a questa scoperta che la costruzione geometrica di Penrose, che si rivelò lo strumento più adatto per modellare la struttura dei quasicristalli, ottenne grande popolarità e fu ulteriormente sviluppata. Ed è per questo che è compreso nei corsi universitari. Allo stato attuale, è già stata ottenuta una generalizzazione tridimensionale del mosaico di Penrose, composta da romboedri sottili e spessi - figure esagonali, ciascuna delle quali è un rombo.

Quale geometria è alla base dei mosaici medievali

Dopo aver analizzato circa 3.700 tessere di mosaico, Lu e Steinhardt giunsero alla conclusione che all'inizio del XIII secolo, la tecnologia di decorare mausolei, moschee e altri edifici con mosaici periodici costituiti da una serie di cinque poligoni, vale a dire un decagono, nei paesi musulmani si erano diffusi un esagono, e un papillon (terminologia degli autori dell'articolo), pentagono e rombo. Questa era essenzialmente una soluzione al problema del parquet sopra descritto utilizzando una serie di cinque poligoni “musulmani”. I modelli costituiti da tali poligoni sono chiamati “girikh” (dal persiano - nodo).

Tieni presente che le facce di tutti i poligoni hanno le stesse dimensioni, il che consente loro di essere unite su qualsiasi lato. Inoltre, ogni tessera poligonale ha linee decorative, ma sono disegnate secondo rigide regole geometriche: due linee qualsiasi del modello convergono al centro di ciascun lato con angoli di 72 o 108°, cioè multipli di 36°. Ciò garantisce che il modello rimanga coerente mentre ti sposti da una tessera all'altra.

Per costruire un mosaico del genere era sufficiente avere a disposizione un compasso e un righello. A proposito, prima della scoperta degli scienziati americani, si credeva che i maestri medievali, quando creavano la decorazione degli edifici, usassero solo gli strumenti più semplici come un righello e un compasso. È ormai evidente che ciò non è del tutto vero.

Il XV secolo segna il periodo più creativo della fioritura della scienza e della cultura nei paesi governati dai Timuridi. Fu in questo periodo che avvenne un salto di qualità nell'arte dell'ornamento. Ciò è confermato dal fatto che numerosi monumenti studiati come il mausoleo di Darb-e-Imam in Iran, la tomba di Haj Abdullah Ansari a Herat e altri appartengono all'era timuride.

La combinazione del mosaico girih, divenuto ormai tradizionale, e delle figure geometriche “freccia” e “aquilone” (sempre nella terminologia di Lu e Steinhardt) ha permesso di creare

motivi non periodici che ricordano i mosaici di Penrose. Ne consegue che a quel tempo forse usavano strumenti più sofisticati, ma è chiaro che nel XV secolo ci fu un salto concettuale nelle tecniche decorative!

Nelle interviste successive alla pubblicazione dell’articolo, Lu e Steinhardt hanno notato che non potevano dire fino a che punto gli stessi architetti medievali comprendessero i dettagli della loro scoperta, ma che la vedevano come un analogo delle strutture di Penrose. E sono assolutamente sicuri che ciò che hanno scoperto non può essere solo una coincidenza casuale.

Digressione lirica

È fatta. Sono riuscito a comprendere la complessità dei motivi geometrici che conferiscono una bellezza unica alle creazioni dei nostri antenati e spero di soddisfare in una certa misura la curiosità dei nostri compatrioti. Certo, rimane una sorta di insoddisfazione, perché anch'io ho ammirato centinaia di volte la bellezza e l'eleganza degli ornamenti di Samarcanda. Perché questo pensiero non mi è mai venuto in mente? Per giustificarmi posso solo dire che quando la struttura quasiperiodica di Penrose fu inclusa nei corsi universitari, stavo già lavorando alla mia tesi di dottorato nella mia ristretta specialità. E Peter Lu ha solo 28 anni e ha già frequentato le strutture Penrose all'università. Naturalmente, conoscere e riconoscere la manifestazione di uno schema in un luogo completamente inaspettato è una cosa completamente diversa, ma per fare ciò devi almeno sapere che tale legge esiste.

Ma non è questo lo scopo della digressione. Mi ci sono voluti due giorni, o meglio due notti insonni, per comprendere l'essenza dell'articolo sulla rivista Science, ma i motivi per cui non l'ho fatto prima hanno, mi sembra, un profondo significato filosofico. Quando ho letto dell'articolo di Lu e Steinhardt su Internet, ho subito chiamato il mio collega, esperto nel campo della geometria. Ha capito subito cosa stava succedendo, ma mi ha sconvolto dicendomi che lo avevo sorpreso prima di partire per l'aeroporto. Avendo saputo che sarebbe tornato da un viaggio d'affari all'estero solo dopo tre mesi, gli ho chiesto di consigliarmi almeno qualche libro in cui avrei potuto leggere delle strutture di Penrose. Mi ha raccontato il libro e ha aggiunto che si tratta di matematica molto complessa ed è improbabile che sia possibile comprendere rapidamente tutto, tanto meno spiegarlo in modo popolare alla gente comune. Quando ho sfogliato il libro che mi è stato consigliato, pieno di concetti come spazi invarianti multidimensionali, spazio fattoriale o spazio irrazionale coniugato, il mio entusiasmo è rapidamente svanito.

Dopo il rapporto dell'agenzia di stampa Jahon, l'interesse della nostra comunità scientifica, e non solo di quella scientifica, per questo tema ha cominciato a crescere come una valanga. Tra gli eruditi dell'Accademia delle Scienze e dell'Università Nazionale, naturalmente, c'erano specialisti che comprendono questioni complesse come l'algebra di Lie, la teoria dei gruppi, le simmetrie multidimensionali, ecc. Ma erano tutti unanimi nel ritenere che fosse impossibile spiegare queste cose in modo popolare. L'altro giorno un pensiero banale mi ha colpito all'improvviso: aspetta. Ma come hanno fatto gli architetti medievali a inventare questo, dal momento che non disponevano dell'apparato più potente della matematica moderna? Questa volta ho deciso di provare a capirlo non attraverso il complesso apparato matematico della struttura quasiperiodica di Penrose, che si è rivelata per me una foresta oscura, ma di seguire il percorso degli architetti medievali. Per prima cosa ho scaricato l'articolo originale di Lu e Steinhardt da Internet. Il loro metodo mi ha stupito. Per spiegare l'essenza della loro scoperta, anche loro hanno intrapreso esattamente questa strada, cioè utilizzando l’apparato concettuale degli architetti medievali e operando con cose semplici come il mosaico “girikh”, le piastrelle “a freccia”, “l’aquilone”, ecc.

Il punto filosofico di tutto ciò è che per comprendere le leggi della natura (e forse della società) non è necessario che tutti seguano la stessa strada. Anche il pensiero umano è multidimensionale. C’è un approccio orientale e c’è un approccio occidentale. E ognuno di loro ha il diritto di esistere, e in un caso particolare può rivelarsi inaspettatamente più efficace del contrario. Questo è quello che è successo in questo caso: ciò che la scienza occidentale è riuscita a scoprire sulla base di un'enorme generalizzazione di esperienze spinose, la scienza orientale lo ha fatto sulla base dell'intuizione e del senso della bellezza. E i risultati sono evidenti: nell’attuazione pratica delle leggi della geometria, i pensatori orientali erano cinque secoli avanti rispetto a quelli occidentali!

Shukhrat Egamberdiev.
Istituto Astronomico dell'Accademia delle Scienze della Repubblica dell'Uzbekistan.

Il testo completo dell'articolo con illustrazioni a colori può essere trovato nel prossimo numero (l'articolo è stato scritto nel 2008. UE) della rivista “Fan va turmush” - “Scienza e vita dell'Uzbekistan”.

Una vergogna! Le persone del Medioevo hanno superato gli scienziati moderni. Pensavamo che la matematica avanzata e la cristallografia fossero i nostri risultati. Si scopre che non esiste niente del genere: tutto questo è accaduto mezzo migliaio di anni fa. Inoltre, la scienza moderna sembra essere stata superata non dai migliori matematici, ma da semplici artisti. Beh, forse non è molto semplice... Ma comunque!

No, davvero, i matematici moderni stanno facendo delle sciocchezze! O piegano la carta 12 volte, poi realizzano all'uncinetto le equazioni di Lorentz, oppure trasformano le palline in ciambelle. In generale, le uniche persone serie rimaste sono Perelman e Okunov: tutta la speranza risiede in loro...

Ma è interessante notare che nei tempi antichi le persone hanno raggiunto risultati matematici, a volte senza attribuire loro particolare importanza. È anche interessante che gli scienziati ripetano oggi le stesse "antiche" scoperte, senza sospettare affatto che stanno inventando qualcosa che esiste da secoli senza le loro ipotesi.

Ad esempio, il matematico inglese Roger Penrose inventò una cosa del genere nel 1973: uno speciale mosaico di forme geometriche. Di conseguenza, divenne noto come il mosaico di Penrose. Cosa c'è di così specifico in questo?

Il mosaico di Penrose secondo il suo creatore. È assemblato da due tipi di rombi, uno con un angolo di 72 gradi, l'altro con un angolo di 36 gradi. L'immagine che produce è simmetrica, ma non periodica (illustrazione da en.wikipedia.org).

Il mosaico di Penrose è un modello assemblato da tessere poligonali di due forme specifiche (rombi leggermente diversi). Possono pavimentare un piano infinito senza lacune.

L'immagine risultante sembra una sorta di ornamento "ritmico" - un'immagine con simmetria traslazionale. Questo tipo di simmetria significa che è possibile selezionare un pezzo specifico in uno schema che può essere “copiato” su un piano, e poi combinare questi “duplicati” tra loro mediante trasferimento parallelo (in altre parole, senza rotazione e senza ingrandimento).

Tuttavia, se guardi da vicino, puoi vedere che il modello di Penrose non ha tali strutture ripetitive: è aperiodico. Ma il punto non è un'illusione ottica, bensì il fatto che il mosaico non è caotico: ha una simmetria rotazionale del quinto ordine.

Esempi di quasicristalli sono una lega di AlMnPd e Al 60 Li 30 Cu 10 (illustrazione di Paul J. Steinhardt).

Ciò significa che l'immagine può essere ruotata di un angolo minimo di 360/ N gradi, dove N– ordine di simmetria, in questo caso N= 5. Pertanto l'angolo di rotazione, che non cambia nulla, deve essere un multiplo di 360 / 5 = 72 gradi.

Per circa un decennio, l'invenzione di Penrose fu considerata nient'altro che una graziosa astrazione matematica. Tuttavia, nel 1984, Dan Shechtman, professore presso l'Israel Institute of Technology (Technion), mentre studiava la struttura di una lega di alluminio-magnesio, scoprì che la diffrazione si verifica sul reticolo atomico di questa sostanza.

Come possiamo essere qui? La domanda non è facile, quindi gli scienziati hanno concordato che questa opzione sarà chiamata quasicristalli, qualcosa come uno stato speciale della materia.

Qui è mostrato uno degli esempi di posa di piastrelle mostrati in un manoscritto arabo del XV secolo. I ricercatori hanno utilizzato i colori per evidenziare le aree ripetitive. Tutti i motivi geometrici dei maestri arabi medievali studiati da Lu e Steinhardt sono costruiti sulla base di questi cinque elementi. Come puoi vedere, gli elementi ripetuti non sono necessariamente allineati con i bordi delle tessere (illustrazione di Peter J. Lu).

Ebbene, il bello della scoperta, come avrete intuito, è che un modello matematico è pronto da tempo. E, come probabilmente avrai capito, questo è un mosaico di Penrose. Ma questo non ha affatto dieci anni, ma molto più vecchio. Questo è diventato noto solo ai nostri giorni, all'alba del 21 ° secolo, e questo modello si è rivelato molto più antico di quanto si potesse immaginare.

Nel 2007, Peter J. Lu, un fisico dell'Università di Harvard, insieme a un altro fisico, Paul J. Steinhardt, ma dell'Università di Princeton, ha pubblicato un articolo su Science sui mosaici Penrose (Lou dovrebbe essere noto ai lettori abituali di Membrane - abbiamo ha già parlato delle sue scoperte sul taglio del diamante di asce antiche e di complesse macchine antiche). Sembrerebbe che qui ci sia poco inaspettato: la scoperta dei quasicristalli ha suscitato un vivo interesse per questo argomento, che ha portato alla comparsa di una serie di pubblicazioni sulla stampa scientifica.

Tuttavia, il punto forte dell’opera è che non è dedicata alla scienza moderna. E in generale, non la scienza.

I motivi “quasicristallini” hanno trovato il loro posto non solo nell’architettura. Qui vedete la copertina del Corano del 1306-1315 e un disegno dei frammenti geometrici su cui si basa il disegno. Questo e gli esempi seguenti non corrispondono ai reticoli di Penrose, ma hanno una simmetria rotazionale del quinto ordine (illustrazione di Peter J. Lu).

Lu ha attirato l'attenzione sui modelli che ricoprono le moschee in Asia, costruite nel Medioevo. Questi disegni facilmente riconoscibili sono realizzati con tessere di mosaico. Si chiamano girihi (dalla parola araba per “nodo”) e sono un disegno geometrico caratteristico dell'arte islamica e costituito da forme poligonali.

Per molto tempo si è creduto che questi modelli venissero creati utilizzando riga e compasso. Tuttavia, un paio di anni fa, mentre viaggiava in Uzbekistan, Lou si interessò ai motivi a mosaico che adornavano l'architettura medievale locale e notò qualcosa di familiare in essi.

Ritornato ad Harvard, lo scienziato iniziò a esaminare motivi simili nei mosaici sui muri degli edifici medievali in Afghanistan, Iran, Iraq e Turchia.

Scoprì che questi modelli erano quasi identici e fu in grado di identificare gli elementi base dei girikh utilizzati in tutti i disegni geometrici. Inoltre, ha trovato disegni di queste immagini in antichi manoscritti, che gli artisti antichi usavano come una sorta di foglietto illustrativo per decorare le pareti.

Ma tutto questo, a quanto pare, non è così importante. Per creare questi modelli, non hanno utilizzato contorni semplici, inventati casualmente, ma figure disposte in un certo ordine. E questo non sorprende particolarmente.

La cosa veramente interessante è che, dimenticandosi di tali schemi, le persone li hanno incontrati di nuovo in seguito. Sì, sì, i modelli antichi non sono altro che quelli che secoli dopo verranno chiamati reticoli di Penrose e si troveranno nella struttura dei quasicristalli!

Queste immagini evidenziano aree simili, sebbene provengano da moschee molto diverse (illustrazione di Peter J. Lu).

Nella tradizione islamica vigeva un severo divieto di raffigurare persone e animali, quindi i motivi geometrici divennero molto popolari nella progettazione degli edifici. I maestri medievali in qualche modo riuscirono a renderlo diverso. Ma nessuno sapeva quale fosse il segreto della loro “strategia”. Quindi, il segreto risulta essere nell'uso di mosaici speciali che possono, pur rimanendo simmetrici, riempire il piano senza ripetersi.

Un altro “trucco” di queste immagini è che, “copiando” tali schemi in vari templi secondo disegni, gli artisti dovrebbero inevitabilmente consentire distorsioni. Ma le violazioni di questa natura sono minime. Ciò può essere spiegato solo dal fatto che non aveva senso i disegni su larga scala: la cosa principale era il principio con cui costruire l'immagine.

Per assemblare i girikh, sono stati utilizzati cinque tipi di tessere (rombi dieci e pentagonali e "farfalle"), che sono state assemblate in un mosaico adiacenti l'una all'altra senza spazio libero tra di loro. I mosaici creati da essi potevano avere simmetria rotazionale e traslazionale contemporaneamente, o solo simmetria rotazionale del quinto ordine (cioè erano mosaici di Penrose).

Frammento dell'ornamento del mausoleo iraniano del 1304. A destra c'è una ricostruzione dei girikh (illustrazione di Peter J. Lu).

I ricercatori hanno considerato il santuario dell’Imam Darb-i nella città iraniana di Isfahan, risalente al 1453, un esempio di struttura quasi cristallina quasi ideale.

Questa scoperta ha impressionato molte persone. Associazione americana per il progresso della scienza (

A proposito dell'esistenza Mosaici di Penrose Non tutti sanno e tanto meno che questo straordinario mosaico a volte è letteralmente sotto i piedi.
Quando io e mio marito visitiamo la famiglia di nostro figlio in Finlandia, ovviamente, passeggiamo per l’accogliente e ben tenuta città di Helsinki. Il programma del nostro soggiorno prevede necessariamente una visita alla libreria accademica Akateeminen Kirjakauppa, situata nel centro in via Keskuskatu, che in russo significa via centrale. Una visita a questa libreria ci dà un piacere estetico e, anche se i libri sono costosi in Finlandia, vogliamo sempre comprare almeno un piccolo libro splendidamente illustrato su fiori e piante.
Un giorno mio figlio, matematico di professione, ci ha consigliato di considerare attentamente quando passeggiamo per questa strada pedonale pavimentando la superficie con piastrelle. Ha spiegato di cosa si trattava Mosaico di Penrose.

Tutti abbiamo visto le piastrelle, ovviamente. Molto spesso ha una forma quadrata. Le piastrelle sono disposte in vari bellissimi motivi.

A volte vengono utilizzate piastrelle di forme e dimensioni diverse, ma l'aspetto complessivo della superficie del rivestimento è comunque quadrato.

A volte le piastrelle vengono posate sfalsate o vengono utilizzate piastrelle non quadrate

Ma tutti questi schemi consistono ancora in parti ripetute

In via Keskuskatu a Helsinki, le piastrelle sono posate in questo modo lo schema non si ripete.

Fino al 1964 nessuno credeva che fosse possibile inventare un set di piastrelle che potesse essere utilizzato per pavimentare un piano senza ripetere lo schema.
Nel 1964, il matematico Robert Berger inventò un set del genere. Sfortunatamente, in questo set c'erano 20.426 tessere di diverse forme e dimensioni.
Quasi immediatamente, ha capito come ridurre il numero di tessere diverse in un set a 104 tipi.
Nel 1968 il famoso matematico Donald Knuth ridusse il numero delle tessere diverse a 92.

Nel 1971 Raphael Robinson inventò un set di sole sei piastrelle che potevano essere utilizzate per rivestire una superficie senza ripetizioni. Ma probabilmente non vorrai usarli nel tuo bagno.

Nel 1973, il matematico inglese Roger Penrose inventò una serie di sei bellissime tessere. Se ricopri anche un pavimento molto grande con queste piastrelle, lo schema non si ripeterà.

La vera fama arrivò a Roger Penrose quando scoprì che bastavano solo due tipi di tessere per creare un motivo unico. Queste piastrelle sono forme geometriche: rombi, leggermente diverse l'una dall'altra.
Questa è una fotografia del matematico Roger Penrose su una superficie ricoperta da un motivo non ripetitivo.
Affiancare un aereo ornamento non ripetitivo fatto di piastrelle si chiama ora Mosaico di Penrose.

La piastrellatura risultante sembra che il mosaico abbia una certa proprietà di simmetria, quando alcune parti del disegno geometrico possono essere trasferite in parallelo senza ruotare e le parti possono essere combinate tra loro.

Infatti, dopo un attento esame del mosaico di Penrose, noterai che lo schema non ha periodicità, ma allo stesso tempo lo schema non è caotico. La simmetria del modello geometrico di Penrose è chiamata rotazionale e, strettamente matematicamente, di quinto ordine.

Per circa dieci anni l'invenzione matematica di Roger Penrose non ebbe alcun significato pratico ed era nota principalmente ai matematici. Ma nel 1984, il professore israeliano Dan Shechtman, studiando fisica dello stato solido, scoprì la diffrazione dello stesso quinto ordine sul reticolo atomico di una lega di alluminio-magnesio. Discutendo di questo fenomeno, gli scienziati hanno adottato come modello matematico il già noto mosaico di Penrose.

Successivamente si è scoperto che coprire la superficie con figure geometriche senza lacune o sovrapposizioni era ampiamente utilizzato nell'arte islamica nel Medioevo. In Asia, le moschee erano ricoperte da motivi geometrici a mosaico. Sono stati trovati diagrammi in antichi manoscritti che indicano che i motivi che decorano le pareti non sono caotici, ma consistono in alcune figure disposte in un ordine rigoroso. Poiché all'arte islamica era vietato raffigurare animali o esseri umani, gli antichi maestri decoravano i templi con motivi geometrici.
L'ampia varietà di modelli non ripetitivi evoca ammirazione e sorpresa. Il motivo sta proprio nel fatto che furono utilizzati tipi particolari di mosaici, molti dei quali avevano la stessa simmetria rotazionale del quinto ordine, ed erano in realtà mosaici di Penrose. Si può presumere che il ruolo della matematica fosse molto importante nell'arte medievale dell'Islam.

Di seguito offro le foto per la visualizzazione Piastrelle a mosaico Penrose strada pedonale Keskuskatu a Helsinki. La superficie è rivestita con piastrelle senza fughe o sormonti, mentre lo schema non si ripete da nessuna parte.

Nel 1973, il matematico inglese Roger Penrose creò uno speciale mosaico di forme geometriche, che divenne noto come mosaico di Penrose.
Il mosaico di Penrose è un modello assemblato da tessere poligonali di due forme specifiche (rombi leggermente diversi). Possono pavimentare un piano infinito senza lacune.

Il mosaico di Penrose secondo il suo creatore.
È assemblato da due tipi di rombi,
uno con un angolo di 72 gradi, l'altro con un angolo di 36 gradi.
L'immagine risulta essere simmetrica, ma non periodica.

Ciò significa che l'immagine può essere ruotata di un angolo minimo pari a 360 / n gradi, dove n è l'ordine di simmetria, in questo caso n = 5. Pertanto l'angolo di rotazione, che non cambia nulla, deve essere multiplo di 360/5 = 72 gradi.

Idee precedenti che esistevano nella fisica dello stato solido escludevano questa possibilità: la struttura del modello di diffrazione ha una simmetria del quinto ordine. Le sue parti non possono essere combinate tramite trasferimento parallelo, il che significa che non è affatto un cristallo. Ma la diffrazione è caratteristica di un reticolo cristallino! Gli scienziati hanno convenuto che questa opzione si chiamerà quasicristalli, qualcosa come uno stato speciale della materia. Ebbene, la bellezza della scoperta è che un modello matematico era già pronto da tempo: il mosaico di Penrose.

E recentemente è diventato chiaro che questa costruzione matematica è molto più antica di quanto si possa immaginare. Nel 2007, Peter J. Lu, un fisico dell'Università di Harvard, insieme a un altro fisico, Paul J. Steinhardt, ma dell'Università di Princeton, ha pubblicato un articolo su Science sui mosaici di Penrose. Sembrerebbe che qui ci sia poco inaspettato: la scoperta dei quasicristalli ha suscitato un vivo interesse per questo argomento, che ha portato alla comparsa di una serie di pubblicazioni sulla stampa scientifica.

Tuttavia, il punto forte dell’opera è che non è dedicata alla scienza moderna. E in generale, non la scienza. Peter Lu ha attirato l'attenzione sui modelli che ricoprono le moschee in Asia, costruite nel Medioevo. Questi disegni facilmente riconoscibili sono realizzati con tessere di mosaico. Si chiamano girihi (dalla parola araba per "nodo") e sono un disegno geometrico caratteristico dell'arte islamica e costituito da forme poligonali.

Un esempio di disposizione delle piastrelle mostrato in un manoscritto arabo del XV secolo.
I ricercatori hanno utilizzato i colori per evidenziare le aree ripetitive.
Tutti i motivi geometrici sono costruiti sulla base di questi cinque elementi.
maestri arabi medievali. Elementi ripetuti
non necessariamente coincidono con i confini delle tessere.

Ci sono due stili nell'ornamento islamico: geometrico - girikh e floreale - islimi.
Girikh(pers.) - un disegno geometrico complesso costituito da linee stilizzate in forme rettangolari e poligonali. Nella maggior parte dei casi viene utilizzato per la decorazione esterna delle moschee e dei libri nelle grandi pubblicazioni.
Islimi(pers.) – un tipo di ornamento costruito sulla combinazione di convolvolo e spirale. Incarna in forma stilizzata o naturalistica l'idea di un germoglio di fogliame fiorito in continua evoluzione e comprende un'infinita varietà di opzioni. È più diffuso nell'abbigliamento, nei libri, nella decorazione interna delle moschee e nei piatti.

Copertina del Corano del 1306-1315 e disegno di frammenti geometrici,
su cui si basa il modello. Questo e gli esempi seguenti non corrispondono
Reticoli di Penrose, ma hanno una simmetria rotazionale del quinto ordine

Prima della scoperta di Peter Lu, si credeva che gli antichi architetti creassero modelli giriha utilizzando righello e compasso (se non per ispirazione). Tuttavia, un paio di anni fa, mentre viaggiava in Uzbekistan, Lou si interessò ai motivi a mosaico che adornavano l'architettura medievale locale e notò qualcosa di familiare in essi. Ritornato ad Harvard, lo scienziato iniziò a esaminare motivi simili nei mosaici sui muri degli edifici medievali in Afghanistan, Iran, Iraq e Turchia.

Questo esempio è datato ad un periodo successivo: 1622 (moschea indiana).
Osservandolo e il disegno della sua struttura non si può fare a meno di ammirare il duro lavoro svolto
ricercatori. E, naturalmente, i maestri stessi.

Peter Lu scoprì che i motivi geometrici dei girikh erano quasi identici e fu in grado di identificare gli elementi di base utilizzati in tutti i disegni geometrici. Inoltre, ha trovato disegni di queste immagini in antichi manoscritti, che gli artisti antichi usavano come una sorta di foglietto illustrativo per decorare le pareti.
Per creare questi modelli, non hanno utilizzato contorni semplici, inventati casualmente, ma figure disposte in un certo ordine. Gli antichi modelli si sono rivelati esatte costruzioni dei mosaici di Penrose!

Queste immagini evidenziano le stesse aree,
sebbene queste siano fotografie di una varietà di moschee

Frammento dell'ornamento del mausoleo iraniano del 1304. A destra – ricostruzione dei girikh

Dopo aver esaminato centinaia di fotografie di siti musulmani medievali, Lu e Steinhardt sono riusciti a datare la tendenza al XIII secolo. A poco a poco questo metodo guadagnò sempre più popolarità e nel XV secolo divenne diffuso. La datazione coincide grosso modo con il periodo di sviluppo della tecnica di decorare palazzi, moschee e vari edifici importanti con piastrelle di ceramica smaltata colorata a forma di vari poligoni. Cioè, piastrelle di ceramica di forme speciali sono state create appositamente per i girikh.

I ricercatori hanno considerato il santuario dell’Imam Darb-i nella città iraniana di Isfahan, risalente al 1453, un esempio di struttura quasi cristallina quasi ideale.

Portale del santuario dell'Imam Darb-i a Isfahan (Iran).
Qui due sistemi di girikh si sovrappongono l'uno all'altro.

Colonna proveniente dal cortile di una moschea in Turchia (1200 circa)
e le mura di una madrasa in Iran (1219). Questi sono i primi lavori
e utilizzano solo due elementi strutturali trovati da Lu

Ora resta da trovare le risposte ad una serie di misteri nella storia di Girikh e dei mosaici di Penrose. Come e perché gli antichi matematici scoprirono le strutture quasicristalline? Gli arabi medievali davano ai mosaici un significato diverso da quello artistico? Perché un concetto matematico così interessante è stato dimenticato per mezzo millennio? E la cosa più interessante è: quali altre scoperte moderne sono nuove, che in realtà sono vecchie ben dimenticate?