Dĺžka jedného oblúka cykloidy je rovnaká. Online kalkulačka na výpočet oblúka

5. Parametrická cykloidná rovnica a rovnica v karteziánskych súradniciach

Predpokladajme, že máme cykloidu tvorenú kružnicou s polomerom a so stredom v bode A.

Ak ako parameter určujúci polohu bodu zvolíme uhol t=∟NDM, o ktorý sa podarilo otočiť polomer, ktorý mal na začiatku valcovania vertikálnu polohu AO, potom súradnice x a y bodu M budú vyjadriť takto:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Takže parametrické rovnice cykloidy majú tvar:

Keď sa t zmení z -∞ na +∞, získa sa krivka pozostávajúca z nekonečného počtu vetiev, ako sú tie, ktoré sú znázornené na tomto obrázku.

Okrem parametrickej rovnice cykloidy existuje aj jej rovnica v karteziánskych súradniciach:

Kde r je polomer kružnice tvoriacej cykloidu.

6. Úlohy pri hľadaní častí cykloidy a útvarov tvorených cykloidou

Úloha č.1. Nájdite oblasť obrazca ohraničenú jedným oblúkom cykloidy, ktorej rovnica je daná parametricky

a os Ox.

Riešenie. Na vyriešenie tohto problému použijeme fakty, ktoré poznáme z teórie integrálov, a to:

Oblasť zakriveného sektora.

Uvažujme nejakú funkciu r = r(ϕ) definovanú na [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] zodpovedá r 0 = r(ϕ 0), a teda bodu M 0 (ϕ 0, r 0), kde ϕ 0,

r 0 - polárne súradnice bodu. Ak sa ϕ zmení a „prechádza“ celým [α, β], potom premenný bod M bude opisovať nejakú krivku AB, za predpokladu, že

rovnica r = r(ϕ).

Definícia 7.4. Krivkový sektor je útvar ohraničený dvoma lúčmi ϕ = α, ϕ = β a krivkou AB definovanou v pol.

súradnice rovnicou r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Platí nasledovné

Veta. Ak funkcia r(ϕ) > 0 a je spojitá na [α, β], potom plocha

krivočiary sektor sa vypočíta podľa vzorca:

Táto veta bola preukázaná skôr v téme určitého integrálu.

Na základe vyššie uvedenej vety je náš problém nájsť plochu obrazca ohraničenú jedným oblúkom cykloidy, ktorej rovnica je daná parametrickými parametrami x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t) a os Ox sa zredukuje na nasledujúce riešenie .

Riešenie. Z krivkovej rovnice dx = a(1−cos t) dt. Prvý oblúk cykloidy zodpovedá zmene parametra t z 0 na 2π. teda

Úloha č.2. Nájdite dĺžku jedného oblúka cykloidy

Nasledujúca veta a jej dôsledok boli tiež študované v integrálnom počte.

Veta. Ak je krivka AB daná rovnicou y = f(x), kde f(x) a f ’ (x) sú spojité na , potom je AB rektifikovateľný a

Dôsledok. Nech AB je dané parametricky

L AB = (1)

Nech sú funkcie x(t), y(t) spojito diferencovateľné na [α, β]. Potom

vzorec (1) možno zapísať nasledovne

Urobme zmenu premenných v tomto integráli x = x(t), potom y’(x)= ;

dx= x’(t)dt a teda:

Teraz sa vráťme k riešeniu nášho problému.

Riešenie. Máme, a preto

Úloha č.3. Potrebujeme nájsť povrchovú plochu S vytvorenú rotáciou jedného oblúka cykloidy

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – náklady), 0≤ t ≤ 2π)

V integrálnom počte existuje nasledujúci vzorec na nájdenie plochy povrchu rotačného telesa okolo osi x krivky definovanej parametricky na segmente: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤ t ≤ t 1)

Aplikovaním tohto vzorca na našu cykloidnú rovnicu dostaneme:

Úloha č.4. Nájdite objem telesa získaný otáčaním cykloidného oblúka

Pozdĺž osi Ox.

V integrálnom počte je pri štúdiu objemov nasledujúca poznámka:

Ak krivka ohraničujúca krivočiary lichobežník je daná parametrickými rovnicami a funkcie v týchto rovniciach spĺňajú podmienky vety o zmene premennej v určitom integráli, potom objem rotačného telesa lichobežníka okolo osi Ox bude vypočítať podľa vzorca

Pomocou tohto vzorca nájdeme objem, ktorý potrebujeme.

Problém je vyriešený.

Záver

Takže v priebehu tejto práce boli objasnené základné vlastnosti cykloidy. Naučili sme sa tiež postaviť cykloidu a zistili sme geometrický význam cykloidy. Ako sa ukázalo, cykloida má obrovské praktické využitie nielen v matematike, ale aj v technologických výpočtoch a fyzike. Cykloida má však aj iné prednosti. Použili ho vedci 17. storočia pri vývoji techník na štúdium zakrivených čiar - tých techník, ktoré nakoniec viedli k vynálezu diferenciálneho a integrálneho počtu. Bol to tiež jeden z „skúšobných kameňov“, na ktorých Newton, Leibniz a ich raní výskumníci testovali silu nových mocných matematických metód. Napokon problém brachistochróny viedol k vynálezu variačného počtu, ktorý je pre dnešných fyzikov taký potrebný. Tak sa ukázalo, že cykloida je neoddeliteľne spojená s jedným z najzaujímavejších období v histórii matematiky.

Literatúra

1. Berman G.N. Cykloid. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrón, alebo iné tajomstvo cykloidy // Quantum. – 1975. - č.5

3. Verov S.G. Tajomstvo cykloidy // Quantum. – 1975. - č.8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Aplikácie určitého integrálu. Metodické pokyny a individuálne zadania pre študentov 1. ročníka PF. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Hviezdny vek cykloidy // Quantum. – 1985. - č.6.

6. Fikhtengolts G.M. Priebeh diferenciálneho a integrálneho počtu. T.1. – M., 1969

Tento riadok sa nazýva „obálka“. Každá zakrivená čiara je obalom svojich dotyčníc.

Hmota a pohyb a metóda, ktorú tvoria, umožňujú každému realizovať svoj potenciál v poznaní pravdy. Vypracovanie metodiky rozvoja dialekticko-materialistickej formy myslenia a osvojenie si podobnej metódy poznávania je druhým krokom k riešeniu problému rozvoja a realizácie ľudských schopností. Fragment XX Príležitosti...

V tejto situácii sa u ľudí môže vyvinúť neurasténia - neuróza, ktorej základom klinického obrazu je astenický stav. Tak v prípade neurasténie, ako aj v prípade dekompenzácie neurasténickej psychopatie sa podstata mentálnej (psychickej) obrany prejavuje v ústupe od ťažkostí do dráždivej slabosti s vegetatívnymi dysfunkciami: buď človek útok nevedome viac „odháňa“. ..

Rôzne druhy činností; rozvoj priestorovej predstavivosti a priestorových predstáv, obrazné, priestorové, logické, abstraktné myslenie školákov; rozvíjanie schopnosti aplikovať geometrické a grafické vedomosti a zručnosti pri riešení rôznych aplikovaných problémov; oboznámenie sa s obsahom a postupnosťou etáp projektových činností v oblasti technických a...

Oblúky. Špirály sú tiež evolventy uzavretých kriviek, napríklad evolventa kruhu. Názvy niektorých špirál sú dané podobnosťou ich polárnych rovníc s rovnicami kriviek v karteziánskych súradniciach, napr.: · parabolická špirála (a - r)2 = bj, · hyperbolická špirála: r = a/j. · Tyč: r2 = a/j · si-ci-špirála, ktorej parametrické rovnice majú tvar: , je konštanta b 2.

Krivka ako na obrázkoch nižšie, keď b a resp.

Ak b = a, krivka je lemniskát

PASCALOV SLIMÁK
Polárna rovnica: r = b + acosθ

Nech OQ je priamka spájajúca stred O s ľubovoľným bodom Q na kružnici s priemerom a prechádzajúcej cez O. Potom je krivka ohniskom všetkých bodov P tak, že PQ = b.

Krivka znázornená na obrázkoch nižšie, keď b > a alebo b

CISSOID OF DIOCLES
Rovnica v pravouhlých súradniciach: y 2 = x 3 /(2a - x)

Parametrické rovnice:

Toto je krivka opísaná bodom P tak, že vzdialenosť OP = vzdialenosť RS. Používa sa v úlohe zdvojnásobenie kocky, t.j. nájdenie strany kocky, ktorá má dvojnásobok objemu danej kocky

ARCHIMEDOVEJ ŠPIRÁLY
Polárna rovnica: r = aθ