Symmetrical mosaic. Pagtatanghal sa paksa ng Penrose mosaic

Isang kahihiyan! Ang mga tao ng Middle Ages ay nalampasan ang mga modernong siyentipiko. Naisip namin na ang advanced na matematika at crystallography ang aming mga nagawa. Ito ay lumiliko na walang ganoon - lahat ng ito ay nangyari kalahating libong taon na ang nakalilipas. Bilang karagdagan, ang modernong agham ay tila nalampasan hindi ng pinakamahusay na mga matematiko, ngunit ng mga simpleng artista. Well, marahil hindi masyadong simple... Ngunit gayon pa man!

Hindi, talagang, ang mga modernong mathematician ay gumagawa ng kumpletong kalokohan! Maaaring tiklop nila ang papel ng 12 beses, pagkatapos ay maggantsilyo sila ng mga equation ng Lorentz, o i-twist ang mga bola sa mga donut. Sa pangkalahatan, ang tanging seryosong tao na natitira ay sina Perelman at Okunov - lahat ng pag-asa ay nasa kanila...

Ngunit ito ay kagiliw-giliw na ang mga tao ay gumawa ng mga tagumpay sa matematika noong sinaunang panahon, kung minsan ay hindi naglalagay ng anumang espesyal na kahalagahan sa kanila. Kapansin-pansin din na inuulit ng mga siyentipiko ang parehong "sinaunang" pagtuklas ngayon, nang hindi naghihinala na sila ay nag-imbento ng isang bagay na umiral nang walang kanilang mga hula sa loob ng maraming siglo.

Halimbawa, ang Ingles na matematiko na si Roger Penrose ay dumating sa ganoong bagay noong 1973 - isang espesyal na mosaic ng mga geometric na hugis. Alinsunod dito, naging kilala ito bilang Penrose mosaic. Ano ang tiyak tungkol dito?

Penrose mosaic ayon sa lumikha nito. Ito ay binuo mula sa dalawang uri ng mga rhombus, ang isa ay may anggulo na 72 degrees, ang isa ay may anggulo na 36 degrees. Ang larawang ginawa nito ay simetriko, ngunit hindi pana-panahon (larawan mula sa en.wikipedia.org).

Ang Penrose mosaic ay isang pattern na binuo mula sa polygonal tile ng dalawang partikular na hugis (medyo magkaibang rhombus). Maaari silang maghanda ng walang katapusang eroplano nang walang mga puwang.

Ang nagreresultang imahe ay mukhang ito ay isang uri ng "maindayog" na dekorasyon - isang larawan na may translational symmetry. Ang ganitong uri ng symmetry ay nangangahulugan na maaari kang pumili ng isang partikular na piraso sa isang pattern na maaaring "kopyahin" sa isang eroplano, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga "duplicate" na ito sa isa't isa sa pamamagitan ng parallel na paglipat (sa madaling salita, nang walang pag-ikot at walang pagpapalaki).

Gayunpaman, kung titingnan mong mabuti, makikita mo na ang Penrose pattern ay walang ganoong paulit-ulit na mga istraktura - ito ay aperiodic. Ngunit ang punto ay hindi isang optical illusion, ngunit ang katotohanan na ang mosaic ay hindi magulo: ito ay may fifth-order rotational symmetry.

Ang mga halimbawa ng quasicystals ay isang haluang metal ng AlMnPd at Al 60 Li 30 Cu 10 (ilustrasyon ni Paul J. Steinhardt).

Nangangahulugan ito na ang imahe ay maaaring iikot sa pinakamababang anggulo na 360/ n degree, kung saan n– pagkakasunud-sunod ng simetrya, sa kasong ito n= 5. Samakatuwid, ang anggulo ng pag-ikot, na hindi nagbabago ng anuman, ay dapat na isang multiple ng 360 / 5 = 72 degrees.

Sa loob ng humigit-kumulang isang dekada, ang imbensyon ni Penrose ay itinuturing na hindi hihigit sa isang cute na abstraction sa matematika. Gayunpaman, noong 1984, natuklasan ni Dan Shechtman, isang propesor sa Israel Institute of Technology (Technion), habang pinag-aaralan ang istraktura ng isang aluminyo-magnesium na haluang metal, na ang diffraction ay nangyayari sa atomic lattice ng sangkap na ito.

Ang mga nakaraang ideya na umiral sa solid state physics ay hindi kasama ang posibilidad na ito: ang istraktura ng pattern ng diffraction ay may fifth-order symmetry. Ang mga bahagi nito ay hindi maaaring pagsamahin sa pamamagitan ng parallel transfer, na nangangahulugan na ito ay hindi isang kristal sa lahat. Ngunit ang diffraction ay katangian ng isang kristal na sala-sala!

Paano tayo narito? Ang tanong ay hindi madali, kaya ang mga siyentipiko ay sumang-ayon na ang pagpipiliang ito ay tatawaging quasicrystals - isang bagay tulad ng isang espesyal na estado ng bagay.

Ipinapakita dito ang isa sa mga halimbawa ng paglalagay ng tile na ipinapakita sa isang ika-15 siglong Arabic na manuskrito. Gumamit ang mga mananaliksik ng mga kulay upang i-highlight ang mga umuulit na lugar. Ang lahat ng mga geometric na pattern ng medieval na Arab masters na pinag-aralan nina Lu at Steinhardt ay binuo batay sa limang elementong ito. Tulad ng nakikita mo, ang mga paulit-ulit na elemento ay hindi kinakailangang nakahanay sa mga hangganan ng tile (larawan ni Peter J. Lu).

Buweno, ang kagandahan ng pagtuklas, tulad ng iyong nahulaan, ay ang isang mathematical model para dito ay matagal nang handa. At, tulad ng malamang na natanto mo, ito ay isang Penrose mosaic. Ngunit ang isang ito ay hindi pa sampung taong gulang, ngunit mas matanda. Nakilala lamang ito sa ating mga araw, sa bukang-liwayway ng ika-21 siglo, at ang modelong ito ay naging mas matanda kaysa sa maiisip ng isa.

Noong 2007, si Peter J. Lu, isang physicist mula sa Harvard University, kasama ang isa pang physicist, si Paul J. Steinhardt, ngunit mula sa Princeton University, ay naglathala ng isang artikulo sa Science on mosaics Penrose (Si Lou ay dapat na kilala sa mga regular na mambabasa ng Membrane - mayroon kaming napag-usapan na ang tungkol sa kanyang mga natuklasan sa pagputol ng brilyante ng mga sinaunang palakol at kumplikadong sinaunang mga makina). Mukhang mayroong maliit na hindi inaasahang dito: ang pagtuklas ng mga quasicrystal ay nakakaakit ng matinding interes sa paksang ito, na humantong sa paglitaw ng isang grupo ng mga publikasyon sa pang-agham na pahayagan.

Gayunpaman, ang highlight ng trabaho ay hindi ito nakatuon sa modernong agham. At sa pangkalahatan - hindi agham.

Ang mga pattern ng "Quasicrystalline" ay natagpuan ang kanilang lugar hindi lamang sa arkitektura. Dito makikita mo ang pabalat ng Koran mula 1306-1315 at isang pagguhit ng mga geometric na fragment kung saan nakabatay ang pattern. Ito at ang mga sumusunod na halimbawa ay hindi tumutugma sa mga sala-sala ng Penrose, ngunit may ikalimang order na rotational symmetry (ilustrasyon ni Peter J. Lu).

Iginuhit ni Lu ang pansin sa mga pattern na sumasaklaw sa mga moske sa Asya, na itinayo noong Middle Ages. Ang mga madaling makikilalang disenyong ito ay ginawa mula sa mga mosaic tile. Ang mga ito ay tinatawag na girihi (mula sa salitang Arabic para sa "knot") at isang geometric na disenyo na katangian ng sining ng Islam at binubuo ng mga polygonal na hugis.

Sa loob ng mahabang panahon ay pinaniniwalaan na ang mga pattern na ito ay nilikha gamit ang isang ruler at compass. Gayunpaman, ilang taon na ang nakalilipas, habang naglalakbay sa Uzbekistan, naging interesado si Lou sa mga pattern ng mosaic na pinalamutian ang lokal na arkitektura ng medieval at napansin ang isang bagay na pamilyar sa kanila.

Pagbalik sa Harvard, sinimulan ng siyentipiko na suriin ang mga katulad na motif sa mga mosaic sa mga dingding ng mga medieval na gusali sa Afghanistan, Iran, Iraq at Turkey.

Nalaman niya na ang mga pattern na ito ay halos magkapareho at nakilala ang mga pangunahing elemento ng girikh na ginagamit sa lahat ng mga geometric na disenyo. Bilang karagdagan, natagpuan niya ang mga guhit ng mga imaheng ito sa mga sinaunang manuskrito, na ginamit ng mga sinaunang artista bilang isang uri ng cheat sheet para sa dekorasyon ng mga dingding.

Ngunit ang lahat ng ito, lumalabas, ay hindi napakahalaga. Upang lumikha ng mga pattern na ito, gumamit sila ng hindi simple, random na imbento na mga contour, ngunit mga figure na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. At ito ay hindi partikular na nakakagulat.

Ang talagang kawili-wili ay, na nakalimutan ang tungkol sa gayong mga scheme, ang mga tao ay nakatagpo muli ng mga ito sa ibang pagkakataon. Oo, oo, ang mga sinaunang pattern ay hindi hihigit sa kung ano ang mga siglo mamaya ay tatawaging Penrose lattices at matatagpuan sa istraktura ng quasicrystals!

Itinatampok ng mga larawang ito ang magkatulad na mga lugar, bagama't sila ay mula sa ibang-iba na mga moske (ilustrasyon ni Peter J. Lu).

Sa tradisyon ng Islam, mayroong mahigpit na pagbabawal sa paglalarawan ng mga tao at hayop, kaya ang mga geometric na pattern ay naging napakapopular sa disenyo ng mga gusali. Ang mga medyebal na master sa paanuman ay nagawa itong maging magkakaibang. Ngunit walang nakakaalam kung ano ang sikreto ng kanilang "diskarte". Kaya, ang lihim ay lumalabas na sa paggamit ng mga espesyal na mosaic na maaaring, habang nananatiling simetriko, punan ang eroplano nang hindi nauulit ang sarili nito.

Ang isa pang "panlinlang" ng mga larawang ito ay na, sa pamamagitan ng "pagkopya" ng gayong mga pakana sa iba't ibang mga templo ayon sa mga guhit, hindi maiiwasang payagan ng mga artista ang mga pagbaluktot. Ngunit ang mga paglabag sa kalikasan na ito ay minimal. Maaari lamang itong ipaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na walang punto sa malakihang mga guhit: ang pangunahing bagay ay ang prinsipyo kung saan itatayo ang larawan.

Upang mag-ipon ng mga girikh, limang uri ng mga tile ang ginamit (sampu at pentagonal rhombus at "butterflies"), na pinagsama sa isang mosaic na katabi ng bawat isa nang walang libreng puwang sa pagitan nila. Ang mga mosaic na nilikha mula sa kanila ay maaaring magkaroon ng rotational at translational symmetry nang sabay-sabay, o fifth-order rotational symmetry lamang (iyon ay, sila ay Penrose mosaic).

Fragment ng ornament ng Iranian mausoleum ng 1304. Sa kanan ay isang muling pagtatayo ng mga girikh (larawan ni Peter J. Lu).

Pagkatapos suriin ang daan-daang mga larawan ng medieval Muslim na mga site, sina Lu at Steinhardt ay nagawang i-date ang trend sa ika-13 siglo. Unti-unti, ang pamamaraang ito ay tumataas ang katanyagan at noong ika-15 siglo ito ay naging laganap.

Itinuring ng mga mananaliksik ang santuwaryo ni Imam Darb-i sa lungsod ng Isfahan ng Iran, na itinayo noong 1453, bilang isang halimbawa ng halos perpektong istrukturang quasicrystalline.

Ang pagtuklas na ito ay humanga sa maraming tao. American Association for the Advancement of Science (

Tungkol sa pagkakaroon Mga mosaic ng Penrose Hindi alam ng lahat, lalo na kung minsan ang kamangha-manghang mosaic na ito ay literal na nasa ilalim ng paa.
Kapag binisita namin ng asawa ko ang pamilya ng aming anak sa Finland, siyempre, naglalakad kami sa maaliwalas at maayos na lungsod ng Helsinki. Ang programa ng aming pamamalagi ay kinakailangang kasama ang pagbisita sa Academic Bookstore Akateeminen Kirjakauppa, na matatagpuan sa gitna sa Keskuskatu Street, na sa Russian ay nangangahulugang Central Street. Ang pagbisita sa bookstore na ito ay nagbibigay sa amin ng aesthetic na kasiyahan at, bagama't ang mga libro ay mahal sa Finland, lagi naming gustong bumili ng kahit isang maliit, magandang larawang libro tungkol sa mga bulaklak at halaman.
Isang araw, pinayuhan kami ng aking anak, isang propesyon ng matematika, kapag naglalakad sa kahabaan ng pedestrian street na ito na maingat na isaalang-alang paglalagay ng mga tile sa ibabaw. Ipinaliwanag niya kung ano iyon Penrose mosaic.

Lahat tayo ay nakakita ng mga tile, siyempre. Kadalasan ito ay parisukat sa hugis. Ang mga tile ay inilatag sa iba't ibang magagandang pattern.

Minsan ang mga tile na may iba't ibang hugis at sukat ay ginagamit, ngunit ang pangkalahatang hitsura ng pantakip sa ibabaw ay parisukat pa rin.

Minsan ang mga tile ay inilatag offset, o hindi-square na mga tile ay ginagamit

Ngunit ang lahat ng mga pattern na ito ay binubuo pa rin ng mga paulit-ulit na bahagi

Sa kalye ng Keskuskatu sa Helsinki, ang mga tile ay inilatag sa gayon hindi umuulit ang pattern.

Hanggang sa 1964, walang naniniwala na posible na makabuo ng isang hanay ng mga tile na maaaring magamit upang ihanda ang isang eroplano nang hindi inuulit ang pattern.
Noong 1964, ang mathematician na si Robert Berger ay nakabuo ng ganoong set. Sa kasamaang palad, mayroong 20,426 na tile sa hanay na ito ng iba't ibang hugis at sukat.
Halos kaagad, naisip niya kung paano bawasan ang bilang ng iba't ibang mga tile sa isang set sa 104 na uri.
Noong 1968, binawasan ng sikat na mathematician na si Donald Knuth ang bilang ng iba't ibang tile sa 92.

Noong 1971, si Raphael Robinson ay nakabuo ng isang set ng anim na tile lamang na maaaring magamit upang takpan ang isang ibabaw nang walang pag-uulit. Ngunit malamang na hindi mo nais na gamitin ang mga ito sa iyong banyo.

Noong 1973, ang English mathematician na si Roger Penrose ay nakabuo ng isang set ng anim na magagandang tile. Kung tinakpan mo ang kahit isang napakalaking palapag gamit ang mga tile na ito, hindi mauulit ang pattern.

Ang tunay na katanyagan ay dumating kay Roger Penrose nang matuklasan niya na dalawang uri lamang ng mga tile ang sapat upang lumikha ng isang natatanging pattern. Ang mga tile na ito ay mga geometric na hugis - mga rhombus, bahagyang naiiba sa bawat isa.
Ito ay isang larawan ng mathematician na si Roger Penrose laban sa isang ibabaw na natatakpan ng hindi umuulit na pattern.
Pag-tile ng eroplano hindi paulit-ulit na palamuti gawa sa tile ay tinatawag na ngayon Penrose mosaic.

Ang resultang pag-tile ay mukhang ang mosaic ay may isang tiyak na pag-aari ng mahusay na proporsyon, kapag ang ilang bahagi ng geometric na pattern ay maaaring ilipat nang kahanay nang hindi umiikot, at ang mga bahagi ay maaaring pagsamahin sa bawat isa.

Sa katunayan, sa maingat na pagsusuri sa Penrose mosaic, mapapansin mo na ang pattern ay walang periodicity, ngunit sa parehong oras ang pattern ay hindi magulo. Ang symmetry ng Penrose geometric pattern ay tinatawag na rotational, at mahigpit na mathematically, fifth order.

Sa loob ng humigit-kumulang sampung taon, ang imbensyon ng matematika ni Roger Penrose ay walang praktikal na kahalagahan at higit na kilala sa mga mathematician. Ngunit noong 1984, ang propesor ng Israel na si Dan Shechtman, na nag-aaral ng solid state physics, ay natuklasan ang diffraction ng parehong ikalimang order sa atomic lattice ng isang aluminum-magnesium alloy. Kapag tinatalakay ang hindi pangkaraniwang bagay na ito, pinagtibay ng mga siyentipiko ang kilalang Penrose mosaic bilang isang modelo ng matematika.

Nang maglaon ay lumabas na ang pagtakip sa ibabaw na may mga geometric na figure na walang gaps o overlap ay malawakang ginagamit sa sining ng Islam noong Middle Ages. Sa Asya, ang mga moske ay natatakpan ng mga mosaic na geometric na pattern. Ang mga diagram ay natagpuan sa mga sinaunang manuskrito na nagpapahiwatig na ang mga pattern na nagpapalamuti sa mga dingding ay hindi magulo, ngunit binubuo ng ilang mga figure na nakaayos sa isang mahigpit na pagkakasunud-sunod. Dahil ipinagbabawal ang sining ng Islam na maglarawan ng mga hayop o tao, pinalamutian ng mga sinaunang master ang mga templo na may mga geometric na pattern.
Ang malawak na pagkakaiba-iba ng mga hindi paulit-ulit na pattern ay nagbubunga ng paghanga at sorpresa. Ang dahilan ay tiyak na nakasalalay sa katotohanan na ang mga espesyal na uri ng mga mosaic ay ginamit, na marami sa mga ito ay may parehong ikalimang order na rotational symmetry, at talagang mga Penrose mosaic. Maaaring ipagpalagay na ang papel ng matematika ay napakahalaga sa medyebal na sining ng Islam.

Sa ibaba ay nag-aalok ako ng mga larawan para tingnan Penrose mosaic tile pedestrian street Keskuskatu sa Helsinki. Ang ibabaw ay natatakpan ng mga tile na walang gaps o overlaps, habang ang pattern ay hindi nauulit kahit saan.

At ang mga sinaunang tao
mga pattern ng islam
Nakumpleto ang pagtatanghal
estudyante ng grade 7B, Central Education Center No. 1679
Zherder Marina.
Mga tagapamahala ng proyekto
Sinyukova E.V. at Zherder V.M.
5klass.net

Ano ang mosaic

Mosaic regalo
isang pattern
gawa sa tiles
iba't ibang anyo. sa pamamagitan nila
maaaring sementado
walang katapusan
eroplanong wala
mga espasyo.

Ang periodic mosaic ay isang mosaic,
ang pattern na kung saan ay paulit-ulit sa pamamagitan ng
pantay na pagitan.
Ang non-periodic mosaic ay isang mosaic
isang pattern na maaaring ulitin
sa hindi regular na pagitan.

Mosaic sa kalikasan

Marami ring halimbawa sa kalikasan
panaka-nakang mosaic. Higit sa lahat
mga kristal ng solid - halimbawa:
kristal ng asin
kristal na brilyante
Graphite na kristal
Crystal ng graphene

Mosaic sa mga kuwadro ni Escher

Ang mga mosaic ay isang mahalagang paksa sa
sining. Artista
Si M.C. Escher ay sikat sa kanya
mosaic at hindi totoo
mga kuwadro na gawa.

Ano ang isang Penrose mosaic?

Noong 1973
Ingles
mathematician na si Roger
Penrose (Roger
Penrose) nilikha
espesyal na mosaic
mula sa geometric
mga numero, na
naging kilala bilang Penrose mosaic.

Mga polygonal na mosaic na slab

Ang Penrose mosaic ay kumakatawan
mosaic na binuo mula sa polygonal
mga tile ng dalawang tiyak na hugis.

Symmetry ng mosaic

Ang nagresultang imahe ay mukhang
parang ito ay isang uri ng "maindayog"
palamuti - isang larawan,
pagmamay-ari
broadcast
simetriya.

Simetrya

Ang ibig sabihin ng translational symmetry
Ano ang maaari mong piliin mula sa pattern?
isang tiyak na piraso na maaaring
"kopya" sa eroplano, at pagkatapos
pagsamahin ang mga "duplicate" na ito sa isa't isa
parallel transfer.

10. Istraktura ng Mosaics

Gayunpaman, kung titingnan mong mabuti, magagawa mo
tingnan na walang ganoon sa pattern ng Penrose
paulit-ulit na mga istruktura - ito
hindi pana-panahon. Ngunit ito ay hindi isang bagay ng
optical illusion, ngunit na ang mosaic
hindi magulo: siya
may
rotational
ikalimang simetrya
utos.

11. Pinakamababang anggulo

Ibig sabihin nito ay
ang imahe ay posible
buksan
pinakamababang anggulo,
katumbas ng 360/n degrees,
kung saan n ang utos
simetriya, dito
kaso n = 5.
Samakatuwid, ang anggulo
turn na wala
hindi nagbabago, dapat
multiple ng 360 / 5 = 72
degrees.

12. Hindi pangkaraniwang pangyayari

Noong 1984 Dan
Nag-aaral si Shekhtman
pag-aaral ng istraktura
aluminyo-magnesium haluang metal,
natuklasan iyon noong
atomic na sala-sala
sangkap na ito
nangyayari
hindi pangkaraniwan para sa
mga kristal
pisikal na kababalaghan.

13. "Maling" mga kristal

Isang sample ng isang substance na napapailalim sa
espesyal na mabilis na paraan
paglamig, nakakalat ang electron beam
upang sa photographic plate a
binibigkas
diffraction
pagpipinta na may simetrya
ikalimang order sa
lokasyon
diffraction
maximum
(simetrya ng icosahedron).

14. Quasicrystals

Napagkasunduan ng mga siyentipiko
na ibinigay
magkakaroon ng isang pagpipilian
pangalanan ang iyong pangalan
quasicrystals -
parang espesyal
estado ng bagay. AT
matagal na yun para sa kanya
ay handa na
matematikal na modelo
- Penrose mosaic.

15.

Publikasyon 2007
Noong 2007, ang mga physicist na sina Peter Lu at Paul
Inilathala ni Steinhardt sa magasin
Artikulo sa agham sa mosaic
Penrose.

16. Interes sa quasicrystals

Mukhang,
unexpected dito
kaunti: pagbubukas
mga quasicrystal
naaakit ng live
interes dito
paksang pinangunahan
sa hitsura ng isang bunton
mga publikasyon sa
pang-agham na pamamahayag.

17. Mga pattern sa Asya

Gayunpaman, ang highlight ng trabaho ay na ito
ay hindi nakatuon sa modernong agham.
At sa pangkalahatan - hindi agham. Peter Lu
napansin ang mga pattern
sumasaklaw sa mga mosque
sa Asya, itinayo
noong Middle Ages.

18.

Mga istilo. Girikh
Sa Islamic ornament mayroong dalawa
istilo:
Girikh (pers.) – kumplikado
geometric na palamuti,
binubuo ng inilarawan sa pangkinaugalian
hugis-parihaba at polygonal
mga hugis ng linya. Sa karamihan ng mga kaso
ginagamit para sa panlabas
disenyo ng mga mosque at mga aklat sa malaki
publikasyon.

19. Islami

Islimi (pers.) – isang uri ng palamuti,
binuo sa koneksyon ng bindweed at
mga spiral. Embodies sa inilarawan sa pangkinaugalian
o naturalistikong anyo ng ideya
patuloy na namumulaklak
nangungulag shoot. Pinakamahusay
ito ay naging laganap sa pananamit,
mga aklat, panloob na dekorasyon ng mga moske,
mga pinggan

20. Mosaics ng Uzbekistan

Habang naglalakbay papasok
Uzbekistan, naging interesado si Lou sa mga pattern
mosaic na pinalamutian ang lokal
medieval architecture, at napansin sa
isang bagay na pamilyar sa kanila.
Pabalat ng Koran 1306-1315 at
pagguhit
geometriko
mga fragment
kung saan ito nakabatay
pattern.

21. Mosaic mula sa iba't ibang bansa

Bumalik sa loob
Harvard, naging scientist
isaalang-alang
magkatulad na motibo sa
mosaic sa mga dingding
medyebal
mga gusali
Afghanistan, Iran,
Iraq at Turkey.

22. Islamic mosaic

Ang halimbawang ito ay napetsahan sa ibang pagkakataon
panahon - 1622 (Mosque ng India).

23. Mga iskema ng Girikh

Natuklasan ni Peter Lu ang geometriko na iyon
ang girikh circuits ay halos magkapareho, at
ay nakilala ang mga pangunahing elemento
ginagamit sa lahat
mga geometric na pattern. Bukod sa,
natagpuan niya ang mga guhit ng mga larawang ito sa
mga sinaunang manuskrito, na
ginamit ng mga sinaunang artista
bilang isang uri ng cheat sheet sa
palamuti sa dingding.

24. Order sa pagtatayo

Upang lumikha ng mga pattern na ito ginamit namin ang hindi
simple, random na naimbento na mga contour,
at ang mga figure na matatagpuan sa
sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Mga sinaunang pattern
naging tumpak na mga pagtatayo ng mga mosaic
Penrose!

25.

Mga tradisyong Islamiko
Sa tradisyon ng Islam
nagkaroon ng mahigpit
pagbabawal ng imahe
tao at hayop,
samakatuwid sa disenyo
malalaking gusali
nakakuha ng kasikatan
geometriko
palamuti.

26. Ang sikreto ng mga sinaunang panginoon

Medieval masters
ginawa ito
iba't iba. Pero ano
naging sikreto nila
"mga diskarte" - walang sinuman
alam. Kaya narito ang sikreto kung paano
beses na lumalabas na
gamitin
mga espesyal na mosaic,
sino kaya, natitira
simetriko,
punan ang eroplano, hindi
paulit-ulit.

27. "focus"

Isa pang "daya" ng mga ito
Ang "panlinlang" ng mga imahe ay iyon,
"pagkopya" ng gayong mga scheme sa
iba't ibang templo sa paligid
mga guhit, mga artista
ay hindi maiiwasang kailanganin
payagan ang mga pagbaluktot. Pero
mga paglabag dito
ang karakter ay minimal.
Ito ay maipapaliwanag lamang ng
na ang mga master ay hindi
ginamit na mga guhit para sa
paggawa ng mosaic.

28. Mga tile

Para sa pag-assemble ng mga timbang
ginamit na mga tile ng lima
species (sampu at
pentagonal rhombuses at
"butterflies"), na
ang mga mosaic ay pinagsama-sama,
magkatabi
walang libre
espasyo sa pagitan
sila.

29. Symmetry ng mga mosaic

Ang mga mosaic ay nilikha mula sa kanila,
maaaring magkaroon kaagad
rotational at
broadcast
symmetry, iyon lang
rotational symmetry
ikalimang utos (iyon ay
ay mga mosaic
Penrose).

30. Girihi

Fragment ng ornament ng Iranian mausoleum
1304 taon. Sa kanan – muling pagtatayo ng mga girikh

31. Petsa ng paglitaw ng mga mosaic

Ang pagkakaroon ng pananaliksik sa daan-daang
petsa
hitsura
mga larawan
mosaic
medyebal
Muslim
atraksyon,
Nagawa nina Lou at Steinhardt
petsa ng hitsura
katulad na kalakaran XIII
siglo. Unti-unti ito
paraan para makuha ang lahat
mahusay na katanyagan at
Ang XV siglo ay naging malawak
laganap.

32. Mga ceramic tile

Humigit-kumulang na nakikipag-date
sumasabay sa panahon
pag-unlad ng teknolohiya
palamuti
mga palasyo, mosque,
iba't ibang mahalaga
makintab na mga gusali
kulay
ceramic tile
sa anyo ng iba't-ibang
polygons. yun
may isang ceramic
mga espesyal na tile
nabuo ang mga form
partikular sa mga girikh.
Ceramic
baldosa

33. Konklusyon

Ano ang natuklasan ng agham ng Kanluranin
batay sa isang malaking paglalahat
matinik na karanasan, silangang agham
ginawa batay sa intuwisyon at pakiramdam
maganda. At ang mga resulta ay halata: sa
sagisag ng mga batas ng geometry sa
pagsasanay ng mga nag-iisip ng Silangan
nauna sa mga Kanluranin ng limang siglo!

Penrose mosaic, Penrose tile - hindi pana-panahong dibisyon ng eroplano, aperiodic regular na istruktura, pag-tile ng eroplano na may dalawang uri ng rhombus - na may mga anggulo na 72° at 108° (“makapal na rhombus”) at 36° at 144° (“ manipis na rhombuses"), tulad (ang mga proporsyon ay napapailalim sa "Golden ratio") na alinman sa dalawang magkatabi (iyon ay, pagkakaroon ng isang karaniwang panig) na mga rhombus ay hindi bumubuo ng isang paralelogram na magkasama.Pinangalanan pagkatapos ng Roger Penrose, na interesado sa problema ng "tessellation," iyon ay, pagpuno sa isang eroplano ng mga figure na may parehong hugis nang walang mga gaps o overlaps.

Ang lahat ng naturang tiling ay hindi pana-panahon at lokal na isomorphic sa isa't isa (iyon ay, anumang may hangganang fragment ng isang Penrose tiling ay nangyayari sa alinmang iba pa). "Pagkatulad sa sarili" - maaari mong pagsamahin ang mga katabing mosaic na tile sa paraang muli kang makakuha ng Penrose mosaic.

Maraming mga segment ang maaaring iguhit sa bawat isa sa dalawang tile upang kapag inilatag ang mosaic, ang mga dulo ng mga segment na ito ay nakahanay at maraming pamilya ng magkatulad na tuwid na mga linya (Amman stripes) ay nabuo sa eroplano.

Ang mga distansya sa pagitan ng mga katabing parallel na linya ay tumatagal ng eksaktong dalawang magkakaibang mga halaga (at para sa bawat pamilya ng mga parallel na linya ang pagkakasunud-sunod ng mga halagang ito ay magkatulad sa sarili).

Ang mga tile ng Penrose, na may mga butas, ay sumasakop sa buong eroplano maliban sa isang pigura ng may hangganang lugar. Imposibleng palakihin ang butas sa pamamagitan ng pag-alis ng ilang (finite number) ng mga tile at pagkatapos ay ganap na ihanda ang walang takip na bahagi.

Ang problema ay malulutas sa pamamagitan ng pag-tile na may mga figure na lumilikha ng pana-panahong umuulit na pattern, ngunit gusto ni Penrose na makahanap ng ganoong figure na, kapag naka-tile sa isang eroplano, ay hindi gagawa ng paulit-ulit na pattern. Ito ay pinaniniwalaan na walang mga tile kung saan ang mga non-periodic mosaic lamang ang maaaring itayo. Pinili ni Penrose ang maraming mga tile ng iba't ibang mga hugis, sa huli ay mayroon lamang 2 sa kanila, na mayroong "gintong ratio", na sumasailalim sa lahat ng magkatugma na relasyon. Ang mga ito ay mga figure na hugis diyamante na may mga anggulo na 108° at 72°. Nang maglaon, ang mga figure ay pinasimple sa isang simpleng hugis ng rhombus (36 ° at 144 °), batay sa prinsipyo ng "gintong tatsulok".

Ang mga resultang pattern ay may quasicrystalline na hugis na may ika-5 order na axial symmetry. Ang mosaic na istraktura ay nauugnay sa Fibonacci sequence.
( Wikipedia)

Penrose mosaic. Ang puting tuldok ay nagmamarka sa gitna ng 5th order rotational symmetry: ang pag-ikot sa paligid nito ng 72° ay nagbabago sa mosaic sa sarili nitong.

Mga tanikala at mosaic (magazine Science and Life, 2005 No. 10)

Isaalang-alang muna natin ang sumusunod na idealized na modelo. Hayaang ang mga particle sa isang equilibrium state ay matatagpuan sa kahabaan ng transport axis z at bumuo ng isang linear chain na may variable na panahon, nagbabago ayon sa batas ng geometric progression:

an = a1·Dn-1,

kung saan ang a1 ay ang inisyal na yugto sa pagitan ng mga particle, n ay ang serial number ng panahon, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1.6180339… ay ang bilang ng ginintuang proporsyon.

Ang itinayong chain ng mga particle ay nagsisilbing halimbawa ng isang one-dimensional na quasicrystal na may long-range symmetry order. Ang istraktura ay ganap na iniutos, mayroong isang sistematikong pattern sa pag-aayos ng mga particle sa axis - ang kanilang mga coordinate ay tinutukoy ng isang batas. Kasabay nito, walang pag-uulit - ang mga panahon sa pagitan ng mga particle ay naiiba at tumataas sa lahat ng oras. Samakatuwid, ang resultang one-dimensional na istraktura ay walang translational symmetry, at ito ay hindi sanhi ng magulong pag-aayos ng mga particle (tulad ng sa mga amorphous na istruktura), ngunit sa pamamagitan ng hindi makatwiran na ratio ng dalawang magkatabing mga panahon (D ay isang hindi makatwiran na numero).

Ang isang lohikal na pagpapatuloy ng itinuturing na isang-dimensional na istraktura ng isang quasicrystal ay isang dalawang-dimensional na istraktura, na maaaring ilarawan sa pamamagitan ng paraan ng pagbuo ng mga non-periodic mosaic (mga pattern) na binubuo ng dalawang magkaibang elemento, dalawang elementarya na mga cell. Ang nasabing mosaic ay binuo noong 1974 ng isang theoretical physicist mula sa Oxford University. R. Penrose. Nakakita siya ng mosaic ng dalawang rhombus na may pantay na panig. Ang mga panloob na anggulo ng isang makitid na rhombus ay 36° at 144°, at ng isang malawak na rhombus - 72° at 108°.

Ang mga anggulo ng mga rhombus na ito ay nauugnay sa ginintuang ratio, na ipinahayag nang algebra sa pamamagitan ng equation na x2 - x - 1 = 0 o ang equation na y2 + y - 1 = 0. Ang mga ugat ng quadratic equation na ito ay maaaring isulat sa trigonometriko na anyo:

x1 = 2cos36°, x2 = 2cos108°,
y1 = 2cos72°, y2 = cos144°.

Ang hindi kinaugalian na anyo ng kumakatawan sa mga ugat ng mga equation ay nagpapakita na ang mga rhombus na ito ay maaaring tawaging makitid at malapad na mga gintong rhombus.

Sa mosaic ng Penrose, ang eroplano ay natatakpan ng mga gintong rhombus na walang mga puwang o magkakapatong, at maaari itong mapalawak nang walang hanggan sa haba at lapad. Ngunit upang makabuo ng isang walang katapusang mosaic, ang ilang mga patakaran ay dapat sundin, na naiiba nang malaki sa monotonous na pag-uulit ng magkaparehong elementarya na mga cell na bumubuo sa isang kristal. Kung ang panuntunan para sa pagsasaayos ng mga gintong diamante ay nilabag, pagkatapos ng ilang oras ang paglago ng mosaic ay titigil, dahil lilitaw ang hindi naaalis na mga hindi pagkakapare-pareho.

Sa walang katapusang mosaic ng Penrose, ang mga gintong rhombus ay inayos nang walang mahigpit na periodicity. Gayunpaman, ang ratio ng bilang ng malalawak na gintong diamante sa bilang ng makitid na gintong diamante ay eksaktong katumbas ng gintong numero D = (1 + √5)/2= = 1.6180339…. Dahil ang bilang D ay hindi makatwiran, sa gayong mosaic imposibleng pumili ng elementarya na cell na may integer na bilang ng mga rhombus ng bawat uri, ang pagsasalin kung saan maaaring makuha ang buong mosaic.

Ang Penrose mosaic ay mayroon ding sariling espesyal na kagandahan bilang isang bagay ng nakakaaliw na matematika. Nang walang pagpunta sa lahat ng aspeto ng isyung ito, tandaan namin na kahit na ang unang hakbang - pagbuo ng isang mosaic - ay medyo kawili-wili, dahil nangangailangan ito ng pansin, pasensya at isang tiyak na katalinuhan. At maaari kang magpakita ng maraming pagkamalikhain at imahinasyon kung gagawin mo ang mosaic na maraming kulay. Ang pangkulay, na agad na nagiging isang laro, ay maaaring gawin sa maraming orihinal na paraan, ang mga pagkakaiba-iba nito ay ipinakita sa mga larawan (sa ibaba). Ang puting tuldok ay nagmamarka sa gitna ng mosaic, isang pag-ikot sa paligid kung saan sa pamamagitan ng 72° ay nagiging sarili nito.

Ang Penrose mosaic ay isang mahusay na halimbawa kung paano ang isang magandang konstruksiyon, na matatagpuan sa intersection ng iba't ibang mga disiplina, ay kinakailangang mahanap ang aplikasyon nito. Kung ang mga nodal point ay pinalitan ng mga atom, ang Penrose mosaic ay nagiging isang mahusay na analogue ng isang two-dimensional quasicrystal, dahil mayroon itong maraming mga katangian na katangian ng estado ng bagay na ito. At dahil jan.

Una, ang pagtatayo ng mosaic ay ipinatupad ayon sa isang tiyak na algorithm, bilang isang resulta kung saan ito ay lumalabas na hindi isang random, ngunit isang nakaayos na istraktura. Anumang may hangganang bahagi nito ay nangyayari nang hindi mabilang na beses sa buong mosaic.

Pangalawa, sa mosaic ay maaaring makilala ng isa ang maraming mga regular na decagon na may eksaktong parehong mga oryentasyon. Lumilikha sila ng long-range orientational order, na tinatawag na quasiperiodic. Nangangahulugan ito na mayroong pakikipag-ugnayan sa pagitan ng malalayong mga istrukturang mosaic na nag-uugnay sa lokasyon at kamag-anak na oryentasyon ng mga diamante sa isang napaka-espesipiko, kahit na hindi maliwanag, na paraan.

Pangatlo, kung magkakasunod kang magpinta sa lahat ng mga rhombus na may mga gilid na kahanay sa anumang napiling direksyon, bubuo sila ng isang serye ng mga putol na linya. Kasama ang mga putol na linyang ito, maaari kang gumuhit ng mga tuwid na parallel na linya na may pagitan sa bawat isa sa humigit-kumulang sa parehong distansya. Salamat sa ari-arian na ito, maaari nating pag-usapan ang ilang translational symmetry sa Penrose mosaic.

Pang-apat, ang sunud-sunod na shaded na mga diamante ay bumubuo ng limang pamilya ng magkatulad na parallel na linya na nagsa-intersect sa mga anggulo na multiple na 72°. Ang mga direksyon ng mga sirang linyang ito ay tumutugma sa mga direksyon ng mga gilid ng isang regular na pentagon. Samakatuwid, ang Penrose mosaic ay may, sa ilang lawak, rotational symmetry ng ika-5 order at sa ganitong kahulugan ay katulad ng isang quasicrystal.

Algorithm para sa pagbuo ng Penrose mosaic - mga modelo at quasicrystals

Mag-aaral
Vladimir State University na pinangalanan

A. G. at, Pedagogical Institute,
Faculty ng Physics at Mathematics, Vladimir, Russia
Email:*****@***com

Ang mga quasicrystal ay isang medyo kamakailang natuklasang uri ng solid, intermediate sa pagitan ng mga kristal at amorphous na solid. Ang kanilang paglitaw ay nauugnay sa mga sangkap na eksperimentong natuklasan noong 1982 na nagbibigay ng pattern ng diffraction na may mga functional na Bragg peak at symmetry na hindi tugma sa translation lattice. Para sa kanilang pagtuklas, ang Israeli physicist at chemist na si Dan Shechtman ay tumanggap ng Nobel Prize noong 2011.

Ang mga non-periodic point system na may long-range order ay kadalasang ginagamit bilang mathematical models ng quasicrystals. Ang ganitong mga mathematical quasicrystals, hindi tulad ng mga pisikal, ay maaaring tukuyin sa anumang dimensyon.

Ang isang dalawang-dimensional na modelo ng isang quasicrystal ay ang Penrose mosaic, na pinag-aralan ng mga mathematician bago pa man matuklasan ang mga quasicrystal. Ang Penrose mosaic ay hindi isang pana-panahong pagkahati, dahil hindi ito nagbabago sa sarili nito sa pamamagitan ng anumang magkatulad na paglilipat - mga pagsasalin. Gayunpaman, mayroong isang mahigpit na pagkakasunud-sunod dito, na tinutukoy ng algorithm para sa pagtatayo ng partisyon na ito.

Mayroong maraming mga diskarte sa pagtukoy ng mathematical quasicrystals. Ang pinakakilalang diskarte ay batay sa pag-project ng mga sala-sala mula sa mga mas matataas na dimensyon na espasyo patungo sa mga mas mababang dimensyon na mga puwang, na tinatawag na "mga set ng modelo". Kapag inilapat sa Penrose tiling, ang pamamaraang ito ay tinatawag na Baaki method.

Ang pamamaraang ito ay pinaka-maginhawa para sa pag-aaral at pagsusuri sa pattern ng diffraction ng mga quasicrystal mula sa isang teoretikal na punto ng view at mula sa punto ng view ng mga algorithm ng computer. Batay sa pagsusuri na ito, ang mga kasunod na konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa mga katangian ng quasicrystals.

Upang pag-aralan ang mga katangian ng Penrose mosaic, sumulat kami ng isang computer program gamit ang Baaki algorithm, ayon sa kung saan ang window ay tinutukoy https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 height=24" height="24 ">.gif" width="104" height="24">, kung saan .

Itinatakda ang https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , kung nasaan ang golden ratio. Pagkatapos ay ang mga projection ng mga puntos papunta sa ang set ng modelo ay magiging tulad ng sumusunod : at kung saan https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23">. Ang mga vertices ay konektado sa pamamagitan ng isang gilid kapag ang distansya sa pagitan ng mga ito ay 1. Kaya, ang isang Penrose mosaic ay itinayo gamit ang algorithm sa itaas.

Natuklasan namin na ang pamamaraan ni Baaki ay hindi ganap na tumpak at ang resultang partition ay hindi eksaktong Penrose partition, dahil lumilitaw ang "dagdag" na mga vertex at gilid ng partition. Ito ay lumabas na ang konstruksiyon na ito ay tama hanggang sa mga vertex at mga hangganan ng mga pentagons.

Gamit ang isang eksperimento sa computer, posible na pinuhin ang paraan ng Baaki, na nagreresulta sa isang Penrose mosaic (Larawan 1):

Fig.1 Penrose mosaic na nakuha gamit ang pagbabago ng Baaki algorithm

Ang pamamaraang inilarawan sa itaas para sa paggawa ng Penrose tiling ay tinatawag na mahinang parametrization ng Penrose tiling.

May isa pang paraan ng pagtatayo - malakas na parameterization ng mga vertex ng partition, kung saan maaari mong makuha ang mga parameter ng mga kalapit na vertex gamit ang parameter ng isang naibigay na vertex. Ang buong hanay ng mga parameter ay nahahati sa mga polygon, sa bawat isa kung saan ang unang lokal na kapaligiran ng punto ay natatanging tinukoy, pati na rin ang isang bituin na binubuo ng mga vector na nagkokonekta sa punto sa mga kalapit na punto.