Formula para sa pagtaas sa ika-4 na kapangyarihan. Exponentiation

06.09.2023

ay matatagpuan gamit ang multiplikasyon. Halimbawa: 5+5+5+5+5+5=5x6. Ang ganitong pagpapahayag ay sinasabing ang kabuuan ng pantay na mga termino ay nakatiklop sa isang produkto. At sa kabaligtaran, kung babasahin natin ang pagkakapantay-pantay na ito mula kanan hanggang kaliwa, makikita natin na pinalawak natin ang kabuuan ng mga katumbas na termino. Katulad nito, maaari mong i-collapse ang produkto ng ilang pantay na salik 5x5x5x5x5x5=5 6.

Iyon ay, sa halip na i-multiply ang anim na magkaparehong salik na 5x5x5x5x5x5, isinusulat nila ang 5 6 at sinasabing "lima hanggang ikaanim na kapangyarihan."

Ang expression na 5 6 ay isang kapangyarihan ng isang numero, kung saan:

5 - base ng degree;

6 - exponent.

Ang mga aksyon kung saan ang produkto ng pantay na mga kadahilanan ay nabawasan sa isang kapangyarihan ay tinatawag pagtataas sa isang kapangyarihan.

Sa pangkalahatan, ang isang degree na may base na "a" at exponent "n" ay nakasulat bilang mga sumusunod

Ang pagtaas ng bilang a sa kapangyarihan n ay nangangahulugan ng paghahanap ng produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a

Kung ang base ng degree na "a" ay katumbas ng 1, ang halaga ng degree para sa anumang natural na numero n ay magiging katumbas ng 1. Halimbawa, 1 5 =1, 1 256 =1

Kung itataas mo ang bilang na "a" sa unang degree, pagkatapos ay makuha natin ang numero mismo: a 1 = a

Kung magtataas ka ng anumang numero sa zero degree, pagkatapos bilang resulta ng mga kalkulasyon ay nakakakuha kami ng isa. a 0 = 1

Ang pangalawa at pangatlong kapangyarihan ng isang numero ay itinuturing na espesyal. Nakabuo sila ng mga pangalan para sa kanila: ang pangalawang degree ay tinatawag parisukat ang numero, pangatlo - kubo itong numero.

Anumang numero ay maaaring itaas sa isang kapangyarihan - positibo, negatibo o zero. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na patakaran ay hindi nalalapat:

Kapag nahanap ang kapangyarihan ng isang positibong numero, ang resulta ay isang positibong numero.

Kapag kinakalkula ang zero sa natural na kapangyarihan, makakakuha tayo ng zero.

x m · x n = x m + n

halimbawa: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Upang hatiin ang mga kapangyarihan na may parehong base Hindi namin binabago ang base, ngunit ibawas ang mga exponent:

x m / x n = x m - n , Saan, m > n,

halimbawa: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Kapag nagkalkula pagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan Hindi namin binabago ang base, ngunit i-multiply ang mga exponents sa bawat isa.

(sa m ) n = y m n

halimbawa: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

halimbawa:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon ayon sa pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan itinataas natin ang numerator at denominator ng fraction sa isang ibinigay na kapangyarihan

(x/y)n = x n / y n

halimbawa: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon kapag nagtatrabaho sa mga expression na naglalaman ng isang degree.

Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon ng mga expression na walang panaklong, ngunit naglalaman ng mga kapangyarihan, una sa lahat, nagsasagawa sila ng exponentiation, pagkatapos ay pagpaparami at paghahati, at pagkatapos lamang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas.

Kung kailangan mong kalkulahin ang isang expression na naglalaman ng mga bracket, pagkatapos ay gawin muna ang mga kalkulasyon sa mga bracket sa pagkakasunud-sunod na ipinahiwatig sa itaas, at pagkatapos ay ang natitirang mga aksyon sa parehong pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan.

Napakalawak sa mga praktikal na kalkulasyon, ang mga handa na talahanayan ng mga kapangyarihan ay ginagamit upang pasimplehin ang mga kalkulasyon.

Kailan ang bilang ay dumarami mismo sa sarili ko, trabaho tinawag degree.

Kaya 2.2 = 4, parisukat o pangalawang kapangyarihan ng 2
2.2.2 = 8, kubo o ikatlong kapangyarihan.
2.2.2.2 = 16, ikaapat na antas.

Gayundin, 10.10 = 100, ang pangalawang kapangyarihan ng 10.
10.10.10 = 1000, pangatlong kapangyarihan.
10.10.10.10 = 10000 pang-apat na kapangyarihan.

At a.a = aa, pangalawang kapangyarihan ng a
a.a.a = aaa, ikatlong kapangyarihan ng a
a.a.a.a = aaaa, ikaapat na kapangyarihan ng a

Ang orihinal na numero ay tinatawag ugat kapangyarihan ng numerong ito dahil ito ang numero kung saan nilikha ang mga kapangyarihan.

Gayunpaman, hindi lubos na maginhawa, lalo na sa kaso ng matataas na kapangyarihan, na isulat ang lahat ng mga salik na bumubuo sa mga kapangyarihan. Samakatuwid, ginagamit ang isang shorthand notation method. Ang ugat ng degree ay nakasulat nang isang beses lamang, at sa kanan at medyo mas mataas malapit dito, ngunit sa isang bahagyang mas maliit na font, nakasulat kung gaano karaming beses ang ugat ay nagsisilbing salik. Ang numero o titik na ito ay tinatawag exponent o degree numero. Kaya, ang isang 2 ay katumbas ng a.a o aa, dahil ang ugat a ay dapat na i-multiply sa sarili nitong dalawang beses upang makuha ang kapangyarihan aa. Gayundin, ang ibig sabihin ng 3 ay aaa, ibig sabihin, dito ay inuulit ang a tatlong beses bilang multiplier.

Ang exponent ng unang degree ay 1, ngunit hindi ito karaniwang isinulat. Kaya, ang isang 1 ay nakasulat bilang a.

Hindi mo dapat malito ang mga degree sa coefficients. Ipinapakita ng koepisyent kung gaano kadalas kinukuha ang halaga bilang Bahagi ang kabuuan. Ipinapakita ng kapangyarihan kung gaano kadalas kinukuha ang isang dami bilang salik nasa trabaho.
Kaya, 4a = a + a + a + a. Ngunit isang 4 = a.a.a.a

Ang scheme ng power notation ay may kakaibang bentahe ng pagpapahintulot sa amin na magpahayag hindi kilala degree. Para sa layuning ito, ang exponent ay isinulat sa halip na isang numero sulat. Sa proseso ng paglutas ng problema, makakakuha tayo ng dami na alam natin ilang antas ng isa pang magnitude. Ngunit sa ngayon hindi namin alam kung ito ay isang parisukat, isang kubo o iba pa, mas mataas na antas. Kaya, sa expression na a x, ang exponent ay nangangahulugan na ang expression na ito ay may ilang degree, bagaman hindi natukoy anong degree. Kaya, ang b m at d n ay itinaas sa mga kapangyarihan ng m at n. Kapag natagpuan ang exponent, numero ay pinapalitan sa halip na isang liham. Kaya, kung m=3, kung gayon b m = b 3 ; ngunit kung m = 5, kung gayon b m =b 5.

Ang paraan ng pagsulat ng mga halaga gamit ang mga kapangyarihan ay isa ring malaking kalamangan kapag gumagamit mga ekspresyon. Kaya, (a + b + d) 3 ay (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), iyon ay, ang kubo ng trinomial (a + b + d) . Ngunit kung isusulat natin ang expression na ito pagkatapos itaas ito sa isang kubo, ito ay magiging hitsura
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Kung kukuha kami ng isang serye ng mga kapangyarihan na ang mga exponent ay tumataas o bumaba ng 1, makikita namin na ang produkto ay tumaas ng karaniwang multiplier o bumababa ng karaniwang divisor, at ang kadahilanan o divisor na ito ay ang orihinal na numero na itinaas sa isang kapangyarihan.

Kaya, sa serye aaaa, aaaa, aaa, aa, a;
o isang 5, isang 4, isang 3, isang 2, isang 1;
ang mga tagapagpahiwatig, kung binibilang mula kanan hanggang kaliwa, ay 1, 2, 3, 4, 5; at ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga halaga ay 1. Kung magsisimula tayo sa kanan magparami sa pamamagitan ng a, matagumpay kaming makakakuha ng maramihang mga halaga.

Kaya a.a = a 2 , pangalawang termino. At isang 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , ikatlong termino. a 4 .a = a 5 .

Kung magsisimula tayo umalis hatiin sa isang,
nakakakuha tayo ng 5:a = a 4 at isang 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Ngunit ang proseso ng paghahati na ito ay maaaring ipagpatuloy pa, at makakakuha tayo ng bagong hanay ng mga halaga.

Kaya, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Ang kumpletong row ay magiging: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

O isang 5, isang 4, isang 3, isang 2, isang, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Narito ang mga halaga sa kanan mula sa isa ay mayroong reverse mga halaga sa kaliwa ng isa. Samakatuwid ang mga degree na ito ay maaaring tawaging kabaligtaran na kapangyarihan a. Masasabi rin natin na ang mga kapangyarihan sa kaliwa ay ang kabaligtaran ng mga kapangyarihan sa kanan.

Kaya, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. At 1:(1/a 3) = a 3.

Ang parehong plano sa pag-record ay maaaring ilapat sa polynomials. Kaya, para sa a + b, nakukuha namin ang set,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Para sa kaginhawahan, ginagamit ang isa pang anyo ng pagsulat ng reciprocal powers.

Ayon sa form na ito, 1/a o 1/a 1 = a -1. At 1/aaa o 1/a 3 = a -3 .
1/aa o 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa o 1/a 4 = a -4 .

At para makagawa ng kumpletong serye na may 1 bilang kabuuang pagkakaiba sa mga exponents, ang a/a o 1 ay itinuturing na isang bagay na walang degree at nakasulat bilang 0 .

Pagkatapos, isinasaalang-alang ang direkta at kabaligtaran na mga kapangyarihan
sa halip na aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
maaari kang sumulat ng 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
O isang +4, isang +3, isang +2, isang +1, isang 0, isang -1, isang -2, isang -3, isang -4.

At ang isang serye ng mga indibidwal na degree lamang ay magiging ganito:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Ang ugat ng isang degree ay maaaring ipahayag ng higit sa isang titik.

Kaya, ang aa.aa o (aa) 2 ay ang pangalawang kapangyarihan ng aa.
At ang aa.aa.aa o (aa) 3 ay ang ikatlong kapangyarihan ng aa.

Ang lahat ng kapangyarihan ng numero 1 ay pareho: 1.1 o 1.1.1. ay magiging katumbas ng 1.

Ang exponentiation ay paghahanap ng halaga ng anumang numero sa pamamagitan ng pag-multiply sa numerong iyon mismo. Panuntunan para sa exponentiation:

I-multiply ang dami sa sarili nito nang maraming beses gaya ng ipinahiwatig sa kapangyarihan ng numero.

Ang panuntunang ito ay karaniwan sa lahat ng mga halimbawa na maaaring lumabas sa panahon ng proseso ng exponentiation. Ngunit tama na magbigay ng paliwanag kung paano ito naaangkop sa mga partikular na kaso.

Kung isang termino lamang ang itinaas sa isang kapangyarihan, kung gayon ito ay i-multiply sa sarili nito nang maraming beses gaya ng ipinahiwatig ng exponent.

Ang ikaapat na kapangyarihan ng a ay isang 4 o aaaa. (Art. 195.)
Ang ikaanim na kapangyarihan ng y ay y 6 o yyyyyy.
Ang Nth power ng x ay x n o xxx..... n ulit na inulit.

Kung ito ay kinakailangan upang itaas ang isang pagpapahayag ng ilang mga termino sa isang kapangyarihan, ang prinsipyo na ang kapangyarihan ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga salik na ito na itinaas sa isang kapangyarihan.

Kaya (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Pero ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Kaya, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Samakatuwid, sa paghahanap ng kapangyarihan ng isang produkto, maaari tayong gumana sa buong produkto nang sabay-sabay, o maaari nating patakbuhin ang bawat kadahilanan nang hiwalay, at pagkatapos ay i-multiply ang kanilang mga halaga sa mga kapangyarihan.

Halimbawa 1. Ang pang-apat na kapangyarihan ng dhy ay (dhy) 4, o d 4 h 4 y 4.

Halimbawa 2. Ang ikatlong kapangyarihan ay 4b, mayroong (4b) 3, o 4 3 b 3, o 64b 3.

Halimbawa 3. Ang Nth kapangyarihan ng 6ad ay (6ad) n o 6 n a n d n.

Halimbawa 4. Ang ikatlong kapangyarihan ng 3m.2y ay (3m.2y) 3, o 27m 3 .8y 3.

Ang antas ng isang binomial, na binubuo ng mga terminong konektado ng + at -, ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga termino nito. Oo,

(a + b) 1 = a + b, unang antas.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, pangalawang kapangyarihan (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, ikatlong kapangyarihan.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, pang-apat na kapangyarihan.

Ang parisukat ng a - b ay isang 2 - 2ab + b 2.

Ang parisukat ng a + b + h ay isang 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Pagsasanay 1. Hanapin ang cube a + 2d + 3

Pagsasanay 2. Hanapin ang ikaapat na kapangyarihan ng b + 2.

Pagsasanay 3. Hanapin ang ikalimang kapangyarihan ng x + 1.

Pagsasanay 4. Hanapin ang ikaanim na kapangyarihan 1 - b.

Sum squares mga halaga At pagkakaiba Ang mga binomial ay madalas na nangyayari sa algebra kung kaya't kailangang malaman ang mga ito nang lubos.

Kung i-multiply natin ang isang + h sa kanyang sarili o a - h sa kanyang sarili,
makuha natin ang: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 din, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Ipinapakita nito na sa bawat kaso, ang una at huling termino ay ang mga parisukat ng a at h, at ang gitnang termino ay dalawang beses ang produkto ng a at h. Mula dito, makikita ang parisukat ng kabuuan at pagkakaiba ng mga binomial gamit ang sumusunod na panuntunan.

Ang parisukat ng isang binomial, na parehong mga termino ay positibo, ay katumbas ng parisukat ng unang termino + dalawang beses ang produkto ng parehong termino + ang parisukat ng huling termino.

Square pagkakaiba Ang binomial ay katumbas ng parisukat ng unang termino na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng parehong termino kasama ang parisukat ng ikalawang termino.

Halimbawa 1. Square 2a + b, mayroong 4a 2 + 4ab + b 2.

Halimbawa 2. Square ab + cd, mayroong 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Halimbawa 3. Square 3d - h, mayroong 9d 2 + 6dh + h 2.

Halimbawa 4. Ang parisukat na a - 1 ay isang 2 - 2a + 1.

Para sa isang paraan para sa paghahanap ng mas matataas na kapangyarihan ng mga binomial, tingnan ang mga sumusunod na seksyon.

Sa maraming pagkakataon, mabisa itong isulat degrees walang multiplikasyon.

Kaya, ang parisukat ng a + b ay (a + b) 2.
Ang Nth kapangyarihan ng bc + 8 + x ay (bc + 8 + x) n

Sa ganitong mga kaso, ang mga panaklong ay sumasakop Lahat miyembro sa ilalim ng degree.

Ngunit kung ang ugat ng antas ay binubuo ng ilan mga multiplier, maaaring saklawin ng mga panaklong ang buong expression, o maaaring ilapat nang hiwalay sa mga salik depende sa kaginhawahan.

Kaya, ang parisukat (a + b)(c + d) ay alinman sa [(a + b).(c + d)] 2 o (a + b) 2 .(c + d) 2.

Para sa una sa mga expression na ito, ang resulta ay ang parisukat ng produkto ng dalawang mga kadahilanan, at para sa pangalawa, ang resulta ay ang produkto ng kanilang mga parisukat. Ngunit sila ay pantay-pantay sa isa't isa.

Cube a.(b + d), ay 3, o a 3.(b + d) 3.

Dapat ding isaalang-alang ang karatula sa harap ng mga miyembrong kasangkot. Napakahalagang tandaan na kapag ang ugat ng isang degree ay positibo, lahat ng positibong kapangyarihan nito ay positibo rin. Ngunit kapag ang ugat ay negatibo, ang mga halaga ay may kakaiba Ang mga kapangyarihan ay negatibo, habang ang mga halaga kahit ang mga degree ay positibo.

Ang pangalawang antas (- a) ay +a 2
Ang ikatlong antas (-a) ay -a 3
Ang pang-apat na kapangyarihan (-a) ay +a 4
Ang ikalimang kapangyarihan (-a) ay -a 5

Kaya kahit ano kakaiba ang degree ay may parehong tanda ng numero. Pero kahit ang antas ay positibo kahit na ang numero ay may negatibo o positibong senyales.
Kaya, +a.+a = +a 2
At -a.-a = +a 2

Ang isang dami na naitaas na sa isang kapangyarihan ay itataas muli sa isang kapangyarihan sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga exponent.

Ang ikatlong kapangyarihan ng isang 2 ay isang 2.3 = isang 6.

Para sa isang 2 = aa; ang cube aa ay aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; na siyang ikaanim na kapangyarihan ng isang, ngunit ang pangatlong kapangyarihan ng isang 2.

Ang ikaapat na kapangyarihan ng a 3 b 2 ay isang 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Ang ikatlong kapangyarihan ng 4a 2 x ay 64a 6 x 3.

Ang ikalimang kapangyarihan ng (a + b) 2 ay (a + b) 10.

Ang Nth na kapangyarihan ng isang 3 ay isang 3n

Ang Nth kapangyarihan ng (x - y) m ay (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Ang panuntunan ay nalalapat nang pantay-pantay sa negatibo degrees.

Halimbawa 1. Ang ikatlong kapangyarihan ng isang -2 ay isang -3.3 =a -6.

Para sa isang -2 = 1/aa, at ang pangatlong kapangyarihan nito
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaa = 1/a 6 = a -6

Ang ikaapat na kapangyarihan ng isang 2 b -3 ay isang 8 b -12 o isang 8 /b 12.

Ang parisukat ay b 3 x -1, mayroong b 6 x -2.

Ang Nth kapangyarihan ng ax -m ay x -mn o 1/x.

Gayunpaman, dapat nating tandaan dito na kung ang tanda dati degree ay "-", pagkatapos ay dapat itong baguhin sa "+" sa tuwing ang degree ay isang even na numero.

Halimbawa 1. Ang parisukat -a 3 ay +a 6. Ang parisukat ng -a 3 ay -a 3 .-a 3, na, ayon sa mga tuntunin ng mga palatandaan sa multiplikasyon, ay +a 6.

2. Ngunit ang kubo -a 3 ay -a 9. Para sa -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. Ang Nth power -a 3 ay isang 3n.

Dito ang resulta ay maaaring maging positibo o negatibo depende sa kung ang n ay pantay o kakaiba.

Kung maliit na bahagi ay itinaas sa isang kapangyarihan, pagkatapos ang numerator at denominator ay itinaas sa isang kapangyarihan.

Ang parisukat ng a/b ay a 2 /b 2 . Ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Ang pangalawa, pangatlo at ika-n na kapangyarihan ng 1/a ay 1/a 2, 1/a 3 at 1/a n.

Mga halimbawa binomials, kung saan ang isa sa mga termino ay isang fraction.

1. Hanapin ang parisukat ng x + 1/2 at x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Ang parisukat ng isang + 2/3 ay isang 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Square x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Ang parisukat ng x - b/m ay x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Ipinakita iyon dati fractional coefficient maaaring ilipat mula sa numerator patungo sa denominator o mula sa denominator patungo sa numerator. Gamit ang iskema para sa pagsulat ng reciprocal powers, malinaw na anumang multiplier maaari ding ilipat, kung binago ang tanda ng degree.

Kaya, sa fraction ax -2 /y, maaari nating ilipat ang x mula sa numerator patungo sa denominator.
Pagkatapos ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

Sa fraction a/by 3, maaari nating ilipat ang y mula sa denominator patungo sa numerator.
Pagkatapos a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Sa parehong paraan, maaari nating ilipat ang isang kadahilanan na may positibong exponent sa numerator o isang kadahilanan na may negatibong exponent sa denominator.

Kaya, ax 3 /b = a/bx -3. Para sa x 3 ang inverse ay x -3 , na x 3 = 1/x -3 .

Samakatuwid, ang denominator ng anumang fraction ay maaaring ganap na alisin, o ang numerator ay maaaring bawasan sa isa, nang hindi binabago ang kahulugan ng expression.

Kaya, a/b = 1/ba -1 , o ab -1 .

Ang exponentiation ay isang operasyong malapit na nauugnay sa multiplikasyon; ang operasyong ito ay resulta ng paulit-ulit na pagpaparami ng isang numero nang mag-isa. Katawanin natin ito ng formula: a1 * a2 * … * an = an.

Halimbawa, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Sa pangkalahatan, ang exponentiation ay kadalasang ginagamit sa iba't ibang formula sa matematika at pisika. Ang function na ito ay may mas siyentipikong layunin kaysa sa apat na pangunahing layunin: Pagdaragdag, Pagbabawas, Pagpaparami, Paghahati.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Ang pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay hindi isang kumplikadong operasyon. Ito ay nauugnay sa multiplikasyon sa katulad na paraan sa relasyon sa pagitan ng multiplikasyon at karagdagan. Ang notasyon an ay isang maikling notasyon ng ika-n bilang ng mga numerong “a” na pinarami ng bawat isa.

Isaalang-alang ang exponentiation gamit ang pinakasimpleng mga halimbawa, lumipat sa mga kumplikado.

Halimbawa, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Apat na parisukat (sa pangalawang kapangyarihan) ay katumbas ng labing-anim. Kung hindi mo naiintindihan ang multiplikasyon 4 * 4, basahin ang aming artikulo tungkol sa multiplikasyon.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Ang limang cubed (sa ikatlong kapangyarihan) ay katumbas ng isang daan dalawampu't lima.

Isa pang halimbawa: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Ang siyam na cubed ay katumbas ng pitong daan dalawampu't siyam.

Mga formula ng exponentiation

Upang wastong tumaas sa isang kapangyarihan, kailangan mong tandaan at malaman ang mga formula na ibinigay sa ibaba. Walang sobrang natural dito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan at pagkatapos ay hindi lamang sila maaalala, ngunit magiging madali din.

Pagtaas ng isang monomial sa isang kapangyarihan

Ano ang monomial? Ito ay produkto ng mga numero at variable sa anumang dami. Halimbawa, ang dalawa ay isang monomial. At ang artikulong ito ay tiyak na tungkol sa pagpapataas ng gayong mga monomial sa mga kapangyarihan.

Gamit ang mga formula para sa exponentiation, hindi magiging mahirap na kalkulahin ang exponentiation ng isang monomial.

Halimbawa, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Kung itataas mo ang isang monomial sa isang kapangyarihan, ang bawat bahagi ng monomial ay itataas sa isang kapangyarihan.

Sa pamamagitan ng pagtaas ng isang variable na mayroon nang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga kapangyarihan ay pinarami. Halimbawa, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Pagtaas sa negatibong kapangyarihan

Ang negatibong kapangyarihan ay ang kapalit ng isang numero. Ano ang reciprocal number? Ang reciprocal ng anumang numero X ay 1/X. Ibig sabihin, X-1=1/X. Ito ang kakanyahan ng negatibong antas.

Isaalang-alang ang halimbawa (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Bakit ganon? Dahil may minus sa degree, ililipat lang namin ang expression na ito sa denominator, at pagkatapos ay itaas ito sa ikatlong kapangyarihan. Simple lang di ba?

Pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtingin sa isyu gamit ang isang partikular na halimbawa. 43/2. Ano ang ibig sabihin ng degree 3/2? 3 – numerator, ay nangangahulugan ng pagtaas ng isang numero (sa kasong ito 4) sa isang kubo. Ang numero 2 ay ang denominator; ito ay ang pagkuha ng pangalawang ugat ng isang numero (sa kasong ito, 4).

Pagkatapos ay makuha natin ang square root ng 43 = 2^3 = 8. Sagot: 8.

Kaya, ang denominator ng isang fractional power ay maaaring maging 3 o 4 at hanggang sa infinity anumang numero, at tinutukoy ng numerong ito ang antas ng square root na kinuha mula sa isang naibigay na numero. Siyempre, hindi maaaring zero ang denominator.

Pagtaas ng ugat sa isang kapangyarihan

Kung ang ugat ay itinaas sa isang antas na katumbas ng antas ng mismong ugat, kung gayon ang sagot ay magiging isang radikal na pagpapahayag. Halimbawa, (√x)2 = x. At kaya sa anumang kaso, ang antas ng ugat at ang antas ng pagtaas ng ugat ay pantay.

Kung (√x)^4. Pagkatapos (√x)^4=x^2. Upang suriin ang solusyon, kino-convert namin ang expression sa isang expression na may fractional power. Dahil ang ugat ay parisukat, ang denominator ay 2. At kung ang ugat ay itinaas sa ikaapat na kapangyarihan, kung gayon ang numerator ay 4. Nakukuha natin ang 4/2=2. Sagot: x = 2.

Sa anumang kaso, ang pinakamagandang opsyon ay i-convert lang ang expression sa isang expression na may fractional power. Kung ang fraction ay hindi magkansela, ito ang sagot, sa kondisyon na ang ugat ng ibinigay na numero ay hindi nakahiwalay.

Pagtaas ng isang kumplikadong numero sa kapangyarihan

Ano ang isang kumplikadong numero? Ang isang kumplikadong numero ay isang expression na may formula na a + b * i; a, b ay tunay na mga numero. i ay isang numero na, kapag naka-squad, ay nagbibigay ng numero -1.

Tingnan natin ang isang halimbawa. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Mag-sign up para sa kursong "Pabilisin ang mental arithmetic, HINDI mental arithmetic" upang matutunan kung paano mabilis at tama ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, mga parisukat na numero at kahit na mag-extract ng mga ugat. Sa loob ng 30 araw, matututunan mo kung paano gumamit ng mga madaling trick para pasimplehin ang mga pagpapatakbo ng aritmetika. Ang bawat aralin ay naglalaman ng mga bagong pamamaraan, malinaw na mga halimbawa at kapaki-pakinabang na mga gawain.

Exponentiation online

Gamit ang aming calculator, maaari mong kalkulahin ang pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan:

Exponentiation ika-7 baitang

Ang mga mag-aaral ay nagsimulang umangat sa isang kapangyarihan lamang sa ikapitong baitang.

Halimbawa, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Mga halimbawa para sa solusyon:

Presentasyon ng exponentiation

Pagtatanghal sa pagtataas sa kapangyarihan, na idinisenyo para sa ikapitong baitang. Maaaring linawin ng presentasyon ang ilang hindi malinaw na mga punto, ngunit ang mga puntong ito ay malamang na hindi malilinaw salamat sa aming artikulo.

Bottom line

Tiningnan lang namin ang dulo ng iceberg, para mas maunawaan ang matematika - mag-sign up para sa aming kurso: Accelerating mental arithmetic - HINDI mental arithmetic.

Mula sa kurso ay hindi ka lamang matututo ng dose-dosenang mga diskarte para sa pinasimple at mabilis na pagpaparami, pagdaragdag, pagpaparami, paghahati, at pagkalkula ng mga porsyento, ngunit isasagawa mo rin ang mga ito sa mga espesyal na gawain at mga larong pang-edukasyon! Nangangailangan din ang mental arithmetic ng maraming atensyon at konsentrasyon, na aktibong sinanay kapag nilulutas ang mga kagiliw-giliw na problema.

Sa pagpapatuloy ng pag-uusap tungkol sa kapangyarihan ng isang numero, lohikal na malaman kung paano mahahanap ang halaga ng kapangyarihan. Ang prosesong ito ay tinatawag na pagpaparami. Sa artikulong ito, pag-aaralan natin kung paano isinasagawa ang exponentiation, habang tatalakayin natin ang lahat ng posibleng exponents - natural, integer, rational at irrational. At ayon sa tradisyon, isasaalang-alang namin nang detalyado ang mga solusyon sa mga halimbawa ng pagtaas ng mga numero sa iba't ibang kapangyarihan.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng "exponentiation"?

Magsimula tayo sa pagpapaliwanag kung ano ang tinatawag na exponentiation. Narito ang nauugnay na kahulugan.

Kahulugan.

Exponentiation- ito ay paghahanap ng halaga ng kapangyarihan ng isang numero.

Kaya, ang paghahanap ng halaga ng kapangyarihan ng isang numero a na may exponent r at pagtaas ng numero a sa kapangyarihan ng r ay ang parehong bagay. Halimbawa, kung ang gawain ay "kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0.5) 5," maaari itong reformulated tulad ng sumusunod: "Itaas ang numero 0.5 sa kapangyarihan 5."

Ngayon ay maaari kang direktang pumunta sa mga panuntunan kung saan isinasagawa ang exponentiation.

Pagtaas ng numero sa natural na kapangyarihan

Sa pagsasagawa, ang pagkakapantay-pantay batay sa ay karaniwang inilalapat sa anyo . Iyon ay, kapag ang pagtaas ng isang numero a sa isang fractional na kapangyarihan m/n, una ang ika-n ugat ng numerong a ay kinuha, pagkatapos kung saan ang resulta ay itataas sa isang integer kapangyarihan m.

Tingnan natin ang mga solusyon sa mga halimbawa ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng antas.

Solusyon.

Magpapakita kami ng dalawang solusyon.

Unang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may fractional exponent. Kinakalkula namin ang halaga ng degree sa ilalim ng root sign, at pagkatapos ay kunin ang cube root: .

Pangalawang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may fractional exponent at batay sa mga katangian ng mga ugat, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: . Ngayon kinuha namin ang ugat , sa wakas, itinataas namin ito sa isang integer na kapangyarihan .

Malinaw, ang nakuha na mga resulta ng pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan ay nagtutugma.

Sagot:

Tandaan na ang isang fractional exponent ay maaaring isulat bilang isang decimal fraction o isang mixed number, sa mga kasong ito dapat itong palitan ng kaukulang ordinaryong fraction, at pagkatapos ay itaas sa isang kapangyarihan.

Halimbawa.

Kalkulahin ang (44.89) 2.5.

Solusyon.

Isulat natin ang exponent sa anyo ng isang ordinaryong fraction (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo): . Ngayon ginagawa namin ang pagtaas sa isang fractional na kapangyarihan:

Sagot:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Dapat ding sabihin na ang pagpapataas ng mga numero sa mga makatwirang kapangyarihan ay isang medyo labor-intensive na proseso (lalo na kapag ang numerator at denominator ng fractional exponent ay naglalaman ng sapat na malalaking numero), na kadalasang isinasagawa gamit ang teknolohiya ng computer.

Upang tapusin ang puntong ito, pag-isipan natin ang pagtaas ng numerong zero sa isang fractional power. Ibinigay namin ang sumusunod na kahulugan sa fractional power ng zero ng form: kapag mayroon kami , at sa zero sa m/n kapangyarihan ay hindi tinukoy. Kaya, ang zero sa isang fractional positive power ay zero, halimbawa, . At ang zero sa isang fractional na negatibong kapangyarihan ay walang katuturan, halimbawa, ang mga expression na 0 -4.3 ay walang saysay.

Pagtaas sa isang hindi makatwirang kapangyarihan

Minsan ito ay nagiging kinakailangan upang malaman ang halaga ng kapangyarihan ng isang numero na may hindi makatwirang exponent. Sa kasong ito, para sa mga praktikal na layunin kadalasan ay sapat na upang makuha ang halaga ng antas na tumpak sa isang tiyak na tanda. Agad nating tandaan na sa pagsasagawa ang halagang ito ay kinakalkula gamit ang mga elektronikong computer, dahil ang pagtaas nito sa isang hindi makatwiran na kapangyarihan nang manu-mano ay nangangailangan ng isang malaking bilang ng mga masalimuot na kalkulasyon. Ngunit ilalarawan pa rin namin sa pangkalahatang mga termino ang kakanyahan ng mga aksyon.

Upang makakuha ng tinatayang halaga ng kapangyarihan ng isang numero a na may hindi makatwirang exponent, kinukuha ang ilang decimal approximation ng exponent at kinakalkula ang halaga ng kapangyarihan. Ang halagang ito ay isang tinatayang halaga ng kapangyarihan ng numerong a na may hindi makatwirang exponent. Kung mas tumpak ang pagtatantya ng decimal ng isang numero sa simula, mas tumpak ang halaga ng degree na makukuha sa huli.

Bilang halimbawa, kalkulahin natin ang tinatayang halaga ng kapangyarihan ng 2 1.174367... . Kunin natin ang sumusunod na decimal approximation ng irrational exponent: . Ngayon itinaas namin ang 2 sa rational power 1.17 (inilarawan namin ang kakanyahan ng prosesong ito sa nakaraang talata), nakukuha namin ang 2 1.17 ≈2.250116. kaya, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Kung kukuha kami ng mas tumpak na pagtatantya ng decimal ng hindi makatwirang exponent, halimbawa, makakakuha tayo ng mas tumpak na halaga ng orihinal na exponent: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliograpiya.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Teksbuk sa matematika para sa ika-5 baitang. institusyong pang-edukasyon.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-7 baitang. institusyong pang-edukasyon.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. institusyong pang-edukasyon.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-9 na baitang. institusyong pang-edukasyon.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra at ang simula ng pagsusuri: Teksbuk para sa mga baitang 10 - 11 ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan).

Nalaman namin kung ano talaga ang kapangyarihan ng isang numero. Ngayon kailangan nating maunawaan kung paano kalkulahin ito nang tama, i.e. itaas ang mga numero sa kapangyarihan. Sa materyal na ito susuriin natin ang mga pangunahing panuntunan para sa pagkalkula ng mga degree sa kaso ng integer, natural, fractional, rational at irrational exponents. Ang lahat ng mga kahulugan ay ilalarawan kasama ng mga halimbawa.

Ang konsepto ng exponentiation

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng mga pangunahing kahulugan.

Kahulugan 1

Exponentiation- ito ang pagkalkula ng halaga ng kapangyarihan ng isang tiyak na numero.

Iyon ay, ang mga salitang "pagkalkula ng halaga ng isang kapangyarihan" at "pagtaas sa isang kapangyarihan" ay nangangahulugan ng parehong bagay. Kaya, kung ang problema ay nagsasabing "Itaas ang numero 0, 5 sa ikalimang kapangyarihan," dapat itong maunawaan bilang "kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0, 5) 5.

Ngayon ipinakita namin ang mga pangunahing patakaran na dapat sundin kapag gumagawa ng mga naturang kalkulasyon.

Tandaan natin kung ano ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent. Para sa isang kapangyarihan na may base a at exponent n, ito ang magiging produkto ng ika-n bilang ng mga salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ito ay maaaring isulat tulad nito:

Upang kalkulahin ang halaga ng isang degree, kailangan mong magsagawa ng pagkilos ng pagpaparami, iyon ay, i-multiply ang mga base ng degree sa tinukoy na bilang ng beses. Ang mismong konsepto ng isang degree na may natural na exponent ay batay sa kakayahang mabilis na dumami. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa 1

Kundisyon: itaas - 2 sa kapangyarihan 4.

Solusyon

Gamit ang kahulugan sa itaas, isinusulat natin ang: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Susunod, kailangan lang nating sundin ang mga hakbang na ito at makakuha ng 16.

Kumuha tayo ng isang mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang halaga 3 2 7 2

Solusyon

Ang entry na ito ay maaaring muling isulat bilang 3 2 7 · 3 2 7 . Noong nakaraan, tiningnan namin kung paano tama na i-multiply ang mga pinaghalong numero na binanggit sa kondisyon.

Gawin natin ang mga hakbang na ito at makuha ang sagot: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Kung ang problema ay nagpapahiwatig ng pangangailangan na itaas ang hindi makatwiran na mga numero sa isang natural na kapangyarihan, kakailanganin muna nating bilugan ang kanilang mga base sa digit na magbibigay-daan sa amin upang makakuha ng sagot ng kinakailangang katumpakan. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa 3

Gawin ang parisukat ng π.

Solusyon

Una, bilugan natin ito sa hundredths. Pagkatapos π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Kung π ≈ 3. 14159, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mas tumpak na resulta: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Tandaan na ang pangangailangan upang kalkulahin ang mga kapangyarihan ng mga hindi makatwirang numero ay lumitaw na medyo bihira sa pagsasanay. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang sagot bilang ang kapangyarihan (ln 6) 3 mismo, o i-convert kung maaari: 5 7 = 125 5 .

Hiwalay, dapat itong ipahiwatig kung ano ang unang kapangyarihan ng isang numero. Dito mo lamang maaalala na ang anumang numero na itinaas sa unang kapangyarihan ay mananatili mismo:

Ito ay malinaw mula sa pag-record .

Hindi ito nakasalalay sa batayan ng antas.

Halimbawa 4

Kaya, (− 9) 1 = − 9, at 7 3 na itinaas sa unang kapangyarihan ay mananatiling katumbas ng 7 3.

Para sa kaginhawahan, susuriin namin ang tatlong kaso nang hiwalay: kung ang exponent ay isang positive integer, kung ito ay zero at kung ito ay isang negatibong integer.

Sa unang kaso, ito ay kapareho ng pagtaas sa isang natural na kapangyarihan: pagkatapos ng lahat, ang mga positibong integer ay nabibilang sa hanay ng mga natural na numero. Napag-usapan na natin sa itaas ang tungkol sa kung paano magtrabaho sa gayong mga degree.

Ngayon tingnan natin kung paano tama na itaas sa zero na kapangyarihan. Para sa isang base maliban sa zero, ang kalkulasyong ito ay palaging naglalabas ng 1. Nauna naming ipinaliwanag na ang 0th power ng isang ay maaaring tukuyin para sa anumang tunay na numero na hindi katumbas ng 0, at isang 0 = 1.

Halimbawa 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - hindi tinukoy.

Natitira na lang sa amin ang case ng isang degree na may integer negative exponent. Napag-usapan na natin na ang mga naturang degree ay maaaring isulat bilang isang fraction 1 a z, kung saan ang a ay anumang numero, at z ay isang negatibong integer. Nakikita namin na ang denominator ng fraction na ito ay hindi hihigit sa isang ordinaryong kapangyarihan na may positibong integer exponent, at natutunan na namin kung paano kalkulahin ito. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga gawain.

Halimbawa 6

Itaas ang 2 sa kapangyarihan - 3.

Solusyon

Gamit ang kahulugan sa itaas, isinusulat natin ang: 2 - 3 = 1 2 3

Kalkulahin natin ang denominator ng fraction na ito at makuha ang 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Kung gayon ang sagot ay: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Halimbawa 7

Itaas ang 1.43 sa -2 na kapangyarihan.

Solusyon

Mag-reformulate tayo: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Kinakalkula namin ang parisukat sa denominator: 1.43·1.43. Ang mga desimal ay maaaring i-multiply sa ganitong paraan:

Bilang resulta, nakuha namin ang (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Ang kailangan lang nating gawin ay isulat ang resultang ito sa anyo ng isang ordinaryong fraction, kung saan kailangan nating i-multiply ito ng 10 thousand (tingnan ang materyal sa pag-convert ng mga fraction).

Sagot: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ang isang espesyal na kaso ay pagtataas ng isang numero sa minus unang kapangyarihan. Ang halaga ng antas na ito ay katumbas ng kapalit ng orihinal na halaga ng base: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Halimbawa 8

Halimbawa: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Paano itaas ang isang numero sa isang fractional na kapangyarihan

Upang maisagawa ang naturang operasyon, kailangan nating tandaan ang pangunahing kahulugan ng isang degree na may fractional exponent: a m n = a m n para sa anumang positibong a, integer m at natural n.

Kahulugan 2

Kaya, ang pagkalkula ng isang fractional na kapangyarihan ay dapat isagawa sa dalawang hakbang: pagtaas sa isang integer na kapangyarihan at paghahanap ng ugat ng ika-n na kapangyarihan.

Mayroon tayong pagkakapantay-pantay a m n = a m n , na kung saan, isinasaalang-alang ang mga katangian ng mga ugat, ay karaniwang ginagamit upang malutas ang mga problema sa anyo a m n = a n m . Nangangahulugan ito na kung itataas natin ang isang numero a sa isang fractional power m / n, pagkatapos ay kukunin muna natin ang ika-n ugat ng a, pagkatapos ay itataas natin ang resulta sa isang kapangyarihan na may integer exponent m.

Ilarawan natin sa isang halimbawa.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang 8 - 2 3 .

Solusyon

Paraan 1: Ayon sa pangunahing kahulugan, maaari nating katawanin ito bilang: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Ngayon kalkulahin natin ang antas sa ilalim ng ugat at kunin ang ikatlong ugat mula sa resulta: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Paraan 2. Baguhin ang pangunahing pagkakapantay-pantay: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Pagkatapos nito, kinukuha namin ang ugat 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 at parisukat ang resulta: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Nakikita namin na ang mga solusyon ay magkapareho. Magagamit mo ito sa anumang paraan na gusto mo.

May mga kaso kapag ang degree ay may indicator na ipinahayag bilang isang mixed number o isang decimal fraction. Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, mas mahusay na palitan ito ng isang ordinaryong fraction at kalkulahin tulad ng ipinahiwatig sa itaas.

Halimbawa 10

Itaas ang 44, 89 sa kapangyarihan ng 2, 5.

Solusyon

I-convert natin ang halaga ng indicator sa isang ordinaryong fraction: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2.

Ngayon ay isinasagawa namin sa pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga aksyon na nakasaad sa itaas: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 67 10 5 = 012 = 51000 13 501, 25107

Sagot: 13 501, 25107.

Kung ang numerator at denominator ng isang fractional exponent ay naglalaman ng malalaking numero, kung gayon ang pagkalkula ng mga naturang exponent na may rational exponent ay isang mahirap na trabaho. Karaniwang nangangailangan ito ng teknolohiya ng computer.

Magkahiwalay nating talakayin ang mga kapangyarihang may zero base at fractional exponent. Ang isang pagpapahayag ng anyo na 0 m n ay maaaring bigyan ng sumusunod na kahulugan: kung m n > 0, pagkatapos ay 0 m n = 0 m n = 0; kung m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Paano itaas ang isang numero sa isang hindi makatwirang kapangyarihan

Ang pangangailangan upang kalkulahin ang halaga ng isang kapangyarihan na ang exponent ay isang hindi makatwirang numero ay hindi lumabas nang madalas. Sa pagsasagawa, ang gawain ay karaniwang limitado sa pagkalkula ng isang tinatayang halaga (hanggang sa isang tiyak na bilang ng mga decimal na lugar). Karaniwan itong kinakalkula sa isang computer dahil sa pagiging kumplikado ng naturang mga kalkulasyon, kaya hindi namin ito tatalakayin nang detalyado, ipahiwatig lamang namin ang mga pangunahing probisyon.

Kung kailangan nating kalkulahin ang halaga ng isang power a na may hindi makatwirang exponent a, pagkatapos ay kukunin natin ang decimal approximation ng exponent at mabibilang mula dito. Ang resulta ay isang tinatayang sagot. Kung mas tumpak ang pagtatantya ng decimal, mas tumpak ang sagot. Ipakita natin sa isang halimbawa:

Halimbawa 11

Kalkulahin ang approximation ng 2 sa kapangyarihan ng 1.174367....

Solusyon

Limitahan natin ang ating sarili sa decimal approximation a n = 1, 17. Magsagawa tayo ng mga kalkulasyon gamit ang numerong ito: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Kung kukunin natin, halimbawa, ang approximation a n = 1, 1743, kung gayon ang sagot ay magiging mas tumpak ng kaunti: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter