Algorithm para sa pagbuo ng Penrose mosaic - mga modelo at quasicrystals. Algorithm para sa pagbuo ng Penrose mosaic - mga modelo at quasicrystals Symmetric mosaic

09.01.2024

Mga kalahok sa proyekto

Nikiforov Kirill, mag-aaral sa ika-8 baitang

Rudneva Oksana, mag-aaral sa ika-8 baitang

Poturaeva Ksenia, mag-aaral sa ika-8 baitang

Paksa ng pananaliksik

Penrose mosaic

Problemadong tanong

Ano ang isang Penrose mosaic?

Pananaliksik hypothesis

May non-periodic tessellation ng eroplano

Mga layunin ng pag-aaral

Kilalanin ang Penrose mosaic at alamin kung bakit ito tinatawag na "gintong" mosaic

Mga resulta

Penrose mosaic

Sinasaklaw ng plane tiling ang buong eroplano ng hindi magkakapatong na mga hugis. Sa matematika, ang problema ng ganap na pagpuno sa isang eroplano ng mga polygon na walang mga gaps o overlaps ay tinatawag na mga parquet o mosaic. Marahil, ang interes sa paving ay unang lumitaw na may kaugnayan sa pagtatayo ng mga mosaic, burloloy at iba pang mga pattern. Kahit na ang mga sinaunang Griyego ay alam na ang problemang ito ay madaling malutas sa pamamagitan ng pagtakip sa eroplano ng mga regular na tatsulok, mga parisukat at mga hexagon.

Ang pag-tile na ito ng eroplano ay tinatawag na periodic. Nang maglaon, natutunan namin kung paano magsagawa ng pag-tile gamit ang kumbinasyon ng ilang regular na polygon.

Ang isang mas mahirap na gawain ay ang paglikha ng hindi masyadong "tama" o "halos" periodic parquet. Sa loob ng mahabang panahon ay pinaniniwalaan na ang problemang ito ay walang solusyon. Gayunpaman, noong 60s ng huling siglo ito ay nalutas sa wakas, ngunit nangangailangan ito ng isang hanay ng libu-libong polygon ng iba't ibang uri. Hakbang-hakbang, ang bilang ng mga species ay nabawasan, at sa wakas, noong kalagitnaan ng 1970s, ang Propesor ng Oxford University na si Roger Penrose, isang natatanging siyentipiko sa ating panahon, na aktibong nagtatrabaho sa iba't ibang larangan ng matematika at pisika, ay nalutas ang problema gamit lamang ang dalawang uri. ng mga rhombus.

Roger Penrose

Inimbestigahan namin ang isang paraan para sa paggawa ng naturang mosaic, na tinatawag na ngayon na Penrose mosaic. Upang gawin ito, gumuhit ng mga diagonal sa isang regular na pentagon (pentagon). Kumuha kami ng bagong pentagon at dalawang uri ng isosceles triangles, na tinatawag na "golden". Ang ratio ng balakang sa base sa naturang mga tatsulok ay katumbas ng "ginintuang" proporsyon. Ang mga anggulo sa mga tatsulok ay 36°, 72° at 72° sa isa at 108°, 36° at 36° sa isa pa. Ikonekta natin ang dalawang magkaparehong tatsulok at makakuha ng "ginintuang" rhombus. Ginamit sila ng siyentipiko sa pagtatayo ng parquet, at ang parquet mismo ay tinawag na "ginintuang".

Penrose mosaic

Ang Penrose mosaic ay may mga sumusunod na katangian:

1. ang ratio ng bilang ng mga manipis na rhombus sa bilang ng mga makapal ay palaging katumbas ng tinatawag na "golden" na numero 1.618...

Mga view: 367

Sa Pebrero 2007 na isyu ng Science magazine, lumitaw ang isang artikulo ng mga Amerikanong siyentipiko na sina Peter Lu at Paul Steinhardt sa medieval Islamic architecture, na agad na naging isang pang-agham na sensasyon. Ayon sa mga may-akda ng artikulo, ang mga pattern ng mosaic na nagpapalamuti sa mga dingding ng medieval mausoleum, mosque at palasyo ay ginawa gamit ang mga batas sa matematika na natuklasan ng mga siyentipikong Europeo noong 70s ng ikadalawampu siglo. Mula dito, malinaw na sumusunod na ang mga medyebal na arkitekto ay ilang siglo nangunguna sa kanilang mga kasamahan sa Europa.

Ang pagtuklas na ito, tulad ng maraming bagay sa modernong agham, ay ganap na nangyari nang hindi sinasadya. Noong 2005, ang nagtapos na estudyante ng Harvard University na si Peter Lu ay dumating sa Uzbekistan bilang isang turista. Hinahangaan ang dekorasyon sa dingding ng mausoleum ni Abdullakhan sa Bukhara, nakita niya dito ang isang analogue ng mga kumplikadong geometric na istruktura na minsan niyang pinag-aralan sa unibersidad. Ang mga kakaibang anyo ng mga pattern sa maraming mga burloloy ng Samarkand ay nagpapatunay lamang sa kawastuhan ng kanyang hula. Sa pag-uwi, sinabi niya sa kanyang thesis supervisor, ang propesor ng Princeton University na si Paul Steinhardt, tungkol sa kanyang natuklasan.

Ang isang masusing pag-aaral ng istraktura ng mga pagpipinta sa dingding at dekorasyon ng medieval na mga monumento ng arkitektura ng Muslim sa Uzbekistan, Afghanistan, Iran, Iraq, Turkey at India ay nakumpirma ang kawastuhan ng hula ni Peter Lu at naging paksa ng kahindik-hindik na artikulo na nabanggit sa itaas.

Upang maunawaan ang kahulugan ng pagtuklas nina Peter Lu at Paul Steinhadt, dapat maging pamilyar ang isa sa mga konsepto tulad ng problema sa parquet, istraktura ng quasicrystalline, gintong numero, atbp. Samakatuwid, simulan natin ang pagtatanghal sa pagkakasunud-sunod.

Ang problema sa parquet at mga istruktura ng Penrose

Sa matematika, ang problema ng ganap na pagpuno sa isang eroplano ng mga polygon na walang mga gaps o overlaps ay tinatawag mga parquet. Kahit na ang mga sinaunang Griyego ay alam na ang problemang ito ay madaling malutas sa pamamagitan ng pagtakip sa eroplano ng mga regular na tatsulok, mga parisukat at mga hexagon.

Kasabay nito, ang mga regular na pentagon ay hindi maaaring magsilbi bilang mga elemento ng elementarya ng parquet, dahil hindi sila maaaring magkasya nang mahigpit sa isa't isa sa isang eroplano nang walang mga puwang. Ang parehong ay maaaring sabihin tungkol sa pito-, walo-, siyam-, sampu-, atbp. mga parisukat. Unti-unti, naimbento ang mga paraan upang punan ang eroplano ng mga regular na polygon na may iba't ibang uri at laki. Halimbawa, ito ay kung paano mo mapupuno ang isang eroplano sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga quadrilateral at octagon na may iba't ibang laki:

Ang isang mas kumplikadong pag-unlad ng problemang ito ay ang kondisyon na ang istraktura ng parquet, na binubuo ng ilang mga uri ng polygons at ganap na sumasakop sa eroplano, ay hindi magiging "regular" o "halos" pana-panahon. Sa loob ng mahabang panahon ay pinaniniwalaan na ang problemang ito ay walang solusyon. Gayunpaman, noong 60s ng huling siglo ito ay nalutas sa wakas, ngunit nangangailangan ito ng isang hanay ng libu-libong polygon ng iba't ibang uri. Hakbang-hakbang, nabawasan ang bilang ng mga species, at sa wakas, noong kalagitnaan ng dekada 70, nalutas ng propesor ng Oxford University na si Roger Penrose ang problema gamit lamang ang dalawang uri ng diamante. Sa ibaba ay ipinapakita ang isang variant ng quasiperiodic (i.e. halos pana-panahon) na pinupuno ang eroplano ng mga rhombus na may matinding anggulo na 72 at 36°. Tinatawag din silang "makapal" at "manipis" na mga diamante.

Upang makakuha ng isang hindi pana-panahong pattern kapag nag-aayos ng mga diamante, dapat kang sumunod sa ilang mga di-maliit na panuntunan para sa kanilang kumbinasyon. Ito ay lumabas na ang tila simpleng istraktura na ito ay may napaka-kagiliw-giliw na mga katangian. Halimbawa, kung kukunin natin ang ratio ng bilang ng mga manipis na rhombus sa bilang ng mga makapal, kung gayon ito ay palaging magiging katumbas ng tinatawag na "golden ratio" 1.618... Dahil ang numerong ito ay "hindi eksakto" , at gaya ng sinasabi ng mga mathematician, hindi makatwiran, ang istraktura ay lumalabas na hindi pana-panahon, ngunit halos pana-panahon. Bukod dito, tinutukoy ng numerong ito ang ugnayan sa pagitan ng mga segment sa loob ng mga decagon na bumubuo ng limang-tulis na bituin - isang pentagram, na itinuturing na isang geometric na pigura na may perpektong sukat. Tandaan na ang mga naka-highlight na decagon ay may parehong oryentasyon, na nag-coordinate at tumutukoy sa pagkakaayos ng mga diamante na bumubuo sa Penrose tiling. Nakapagtataka na ang purong geometriko na konstruksyon na ito ay naging pinakaangkop na modelo ng matematika para sa paglalarawan ng mga quasicrystal na natuklasan noong 1984.

Ano ang mga quasicrystals

Isinama namin ang seksyong ito sa aming artikulo upang sabihin ang isa pang kawili-wiling kuwento tungkol sa kung paano ang isang matematikal na konstruksyon, na bunga ng dalisay na imahinasyon ng mga siyentipiko, ay hindi inaasahang natagpuan ang mahalagang praktikal na aplikasyon.

Ang lahat ng mga sangkap sa kalikasan ay maaaring nahahati sa dalawang uri: amorphous, kung saan walang regularidad sa magkaparehong pag-aayos ng mga atomo, at mala-kristal, na nailalarawan sa pamamagitan ng kanilang mahigpit na iniutos na pag-aayos. Mula sa mga batas ng crystallography ito ay sumusunod na para sa mga kristal lamang symmetry axes ng una, pangalawa, pangatlo, ikaapat at ikaanim na mga order ay posible, i.e. Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa parquet, ang mga kristal na may fifth-order symmetry ay hindi maaaring umiral sa kalikasan. Ang pangyayaring ito ay mahigpit na napatunayan batay sa matematikal na teorya ng mga grupo sa mga multidimensional na espasyo. Ngunit ang kalikasan, gaya ng dati, ay naging mas mapag-imbento, at noong 1984 ang gawain ng grupo ni Shekhtman ay nai-publish, na nag-ulat ng pagtuklas ng isang aluminyo-mangganeso na haluang metal na may ikalimang order na rotational symmetry. Kasunod nito, maraming mga katulad na haluang metal na hanggang ngayon ay hindi kilalang mga katangian ay na-synthesize. Ang mga haluang ito ay tinatawag na quasicrystals, at ngayon ay itinuturing na intermediate sa pagitan ng amorphous at crystalline forms ng matter.

Ito ay salamat sa pagtuklas na ito na ang geometric na konstruksyon ng Penrose, na naging pinaka-angkop na tool para sa pagmomodelo ng istraktura ng mga quasicrystals, ay nakakuha ng mahusay na katanyagan at higit na binuo. At iyon ang dahilan kung bakit ito kasama sa mga kurso sa unibersidad. Sa kasalukuyan, ang isang three-dimensional na generalization ng Penrose mosaic ay nakuha na, na binubuo ng manipis at makapal na rhombohedrons - hexagonal figure, ang bawat mukha nito ay isang rhombus.

Anong geometry ang pinagbabatayan ng medieval mosaic

Matapos suriin ang humigit-kumulang 3,700 mosaic tile, sina Lu at Steinhardt ay dumating sa konklusyon na sa pagpasok ng ika-13 siglo, ang teknolohiya ng dekorasyon ng mga mausoleum, mosque at iba pang mga gusali na may mga pana-panahong mosaic na binubuo ng isang hanay ng limang polygon, ibig sabihin, isang decagon, isang hexagon, at isang bow tie, ay kumalat sa mga bansang Muslim.(terminolohiya ng mga may-akda ng artikulo), pentagon at rhombus. Ito ay mahalagang solusyon sa problema sa parquet na inilarawan sa itaas gamit ang isang set ng limang polygon na "Muslim". Ang mga pattern na binubuo ng naturang mga polygon ay tinatawag na "girikh" (mula sa Persian - knot).

Pakitandaan na ang mga mukha ng lahat ng polygon ay may parehong mga sukat, na nagpapahintulot sa kanila na pagsamahin sa anumang panig. Bilang karagdagan, ang bawat polygon tile ay may mga pandekorasyon na linya, ngunit ang mga ito ay iginuhit ayon sa mahigpit na mga geometric na panuntunan: anumang dalawang linya ng pattern ay nagtatagpo sa gitna ng bawat panig sa mga anggulo ng 72 o 108 °, i.e. multiple ng 36°. Tinitiyak nito na ang pattern ay nananatiling pare-pareho habang lumilipat ka mula sa isang tile patungo sa isa pa.

Upang makabuo ng gayong mosaic, sapat na ang pagkakaroon ng isang compass at isang ruler sa iyong pagtatapon. Sa pamamagitan ng paraan, bago ang pagtuklas ng mga Amerikanong siyentipiko, pinaniniwalaan na ang mga medieval masters, kapag lumilikha ng dekorasyon ng mga gusali, ay gumagamit lamang ng pinakasimpleng mga tool tulad ng isang pinuno at compass. Ngayon ay naging malinaw na ito ay hindi ganap na totoo.

Ang ika-15 siglo ay minarkahan ang pinakamalikhaing panahon ng pamumulaklak ng agham at kultura sa mga bansang pinamumunuan ng mga Timurid. Sa oras na ito naganap ang isang qualitative leap sa sining ng ornament. Ito ay kinumpirma ng katotohanan na maraming pinag-aralan na mga monumento tulad ng mausoleum ng Darb-e-Imam sa Iran, ang libingan ni Haj Abdullah Ansari sa Herat at iba pa ay nabibilang sa panahon ng Timurid.

Ang kumbinasyon ng girih mosaic, na naging tradisyonal sa panahong ito, at ang mga geometric na figure na "arrow" at "kite" (muli sa terminolohiya nina Lu at Steinhardt) ay naging posible upang lumikha

non-periodic pattern na nakapagpapaalaala sa Penrose mosaic. Kasunod nito na maaaring gumamit na sila ng mas sopistikadong mga tool sa oras na ito, ngunit malinaw na nagkaroon ng konseptong paglukso sa mga diskarte sa dekorasyon noong ika-15 siglo!

Sa kasunod na mga panayam pagkatapos ng paglalathala ng artikulo, sinabi nina Lu at Steinhardt na hindi nila masasabi kung hanggang saan naunawaan ng mga arkitekto ng medieval ang mga detalye ng kanilang pagtuklas, ngunit nakikita nila ito bilang isang analogue ng mga istruktura ni Penrose. At sila ay lubos na nakatitiyak na ang kanilang natuklasan ay hindi maaaring isang random na pagkakataon lamang.

Lyrical digression

Tapos na. Naunawaan ko ang mga intricacies ng mga geometric na pattern na nagbibigay ng kakaibang kagandahan sa mga likha ng ating mga ninuno, at umaasa akong sa ilang sukat ay masiyahan ang pag-usisa ng ating mga kababayan. Siyempre, nananatili ang ilang uri ng kawalang-kasiyahan, dahil ako rin, ay humanga sa kagandahan at kagandahan ng mga burloloy ng Samarkand nang daan-daang beses. Bakit hindi sumagi sa isip ko ang ideyang ito? Upang bigyang-katwiran ang aking sarili, masasabi ko lamang na kapag ang quasiperiodic Penrose na istraktura ay kasama sa mga kurso sa unibersidad, ginagawa ko na ang aking PhD thesis sa aking makitid na espesyalidad. At si Peter Lu ay 28 taong gulang lamang, at dumaan na siya sa mga istruktura ng Penrose sa unibersidad. Siyempre, ang pag-alam at pagkilala sa pagpapakita ng ilang pattern sa isang ganap na hindi inaasahang lugar ay ganap na magkakaibang mga bagay, ngunit upang magawa ito, dapat mong malaman na mayroong ganoong batas.

Ngunit hindi ito ang tungkol sa digresyong ito. Kinailangan ko ng dalawang araw, o sa halip, dalawang gabing walang tulog, upang maunawaan ang kakanyahan ng artikulo sa magasing Science, ngunit ang mga dahilan kung bakit hindi ko ginawa ito nang mas maaga ay, tila sa akin, ay isang malalim na kahulugan ng pilosopikal. Nang mabasa ko ang tungkol sa artikulo nina Lu at Steinhardt sa Internet, agad kong tinawagan ang aking kasamahan, isang dalubhasa sa larangan ng geometry. Naintindihan naman niya agad kung ano ang nangyayari, pero nagalit ako sa pagsasabi sa akin na naabutan ko siya bago umalis papuntang airport. Nang malaman na siya ay babalik mula sa isang dayuhang paglalakbay sa negosyo pagkatapos lamang ng tatlong buwan, hiniling ko sa kanya na irekomenda man lang sa akin ang ilang libro kung saan maaari kong basahin ang tungkol sa mga istruktura ng Penrose. Sinabi niya sa akin ang libro at idinagdag na ito ay napaka-komplikadong matematika at ito ay malamang na hindi posible na mabilis na maunawaan ang lahat, lalo na't ipaliwanag ito nang sikat sa mga ordinaryong tao. Nang buklatin ko ang aklat na inirerekomenda sa akin, na puno ng mga konsepto gaya ng multidimensional invariant space, factor space ng conjugate irrational space, mabilis na nawala ang aking sigasig.

Matapos ang ulat ng Jahon news agency, ang interes ng ating siyentipiko, at hindi lamang ang siyentipikong komunidad sa isyung ito ay nagsimulang lumaki na parang avalanche. Kabilang sa mga natutunang lalaki ng Academy of Sciences at ng National University, siyempre, mayroong mga espesyalista na nauunawaan ang mga kumplikadong isyu ng Lie algebras, teorya ng grupo, multidimensional symmetries, atbp. Ngunit lahat sila ay nagkakaisa sa kanilang opinyon na imposibleng ipaliwanag ang mga bagay na ito nang tanyag. Noong isang araw ay biglang sumagi sa isip ko ang isang maliit na kaisipan: Teka. Ngunit paano ito naisip ng mga arkitekto ng medieval, dahil wala silang pinakamakapangyarihang kagamitan ng modernong matematika? Sa oras na ito ay nagpasya akong subukang maunawaan ito hindi sa pamamagitan ng kumplikadong mathematical apparatus ng Penrose quasiperiodic na istraktura, na naging isang madilim na kagubatan para sa akin, ngunit upang sundin ang landas ng mga medieval na arkitekto. Una, na-download ko ang orihinal na artikulo nina Lu at Steinhardt mula sa Internet. Nagulat ako sa pamamaraan nila. Upang ipaliwanag ang kakanyahan ng kanilang pagtuklas, kinuha din nila ang eksaktong landas na ito, i.e. gamit ang conceptual apparatus ng mga medieval na arkitekto, at gumagana sa mga simpleng bagay tulad ng "girikh" mosaic, "arrow" tile, "kite", atbp.

Ang pilosopikal na punto ng lahat ng ito ay upang maunawaan ang mga batas ng kalikasan (at marahil ang lipunan) hindi kinakailangan para sa lahat na sundin ang parehong landas. Ang pag-iisip ng tao ay multidimensional din. May lapit na silangan, at may kanlurang lapit. At ang bawat isa sa kanila ay may karapatang umiral, at sa isang partikular na kaso ay maaaring hindi inaasahang maging mas epektibo kaysa sa kabaligtaran. Ito ang nangyari sa kasong ito: kung ano ang nagawang matuklasan ng Kanluraning agham batay sa isang malaking paglalahat ng matitinik na karanasan, ginawa ng agham ng Silangan sa batayan ng intuwisyon at isang pakiramdam ng kagandahan. At ang mga resulta ay halata: sa praktikal na pagpapatupad ng mga batas ng geometry sa praktika, ang mga nag-iisip ng Silangan ay nauna nang limang siglo kaysa sa mga Kanluranin!

Shukhrat Egamberdiev.
Astronomical Institute ng Academy of Sciences ng Republic of Uzbekistan.

Ang buong teksto ng artikulo na may mga guhit na may kulay ay matatagpuan sa susunod (ang artikulo ay isinulat noong 2008. EU) na isyu ng magazine na "Fan va turmush" - "Science and Life of Uzbekistan".

Isang kahihiyan! Ang mga tao ng Middle Ages ay nalampasan ang mga modernong siyentipiko. Naisip namin na ang advanced na matematika at crystallography ang aming mga nagawa. Ito ay lumiliko na walang ganoon - lahat ng ito ay nangyari kalahating libong taon na ang nakalilipas. Bilang karagdagan, ang modernong agham ay tila nalampasan hindi ng pinakamahusay na mga matematiko, ngunit ng mga simpleng artista. Well, marahil hindi masyadong simple... Ngunit gayon pa man!

Hindi, talagang, ang mga modernong mathematician ay gumagawa ng kumpletong kalokohan! Maaaring tiklop nila ang papel ng 12 beses, pagkatapos ay maggantsilyo sila ng mga equation ng Lorentz, o i-twist ang mga bola sa mga donut. Sa pangkalahatan, ang tanging seryosong tao na natitira ay sina Perelman at Okunov - lahat ng pag-asa ay nasa kanila...

Ngunit ito ay kagiliw-giliw na ang mga tao ay gumawa ng mga tagumpay sa matematika noong sinaunang panahon, kung minsan ay hindi naglalagay ng anumang espesyal na kahalagahan sa kanila. Kapansin-pansin din na inuulit ng mga siyentipiko ang parehong "sinaunang" pagtuklas ngayon, nang hindi naghihinala na sila ay nag-imbento ng isang bagay na umiral nang walang kanilang mga hula sa loob ng maraming siglo.

Halimbawa, ang Ingles na matematiko na si Roger Penrose ay dumating sa ganoong bagay noong 1973 - isang espesyal na mosaic ng mga geometric na hugis. Alinsunod dito, naging kilala ito bilang Penrose mosaic. Ano ang tiyak tungkol dito?

Penrose mosaic ayon sa lumikha nito. Ito ay binuo mula sa dalawang uri ng mga rhombus, ang isa ay may anggulo na 72 degrees, ang isa ay may anggulo na 36 degrees. Ang larawang ginawa nito ay simetriko, ngunit hindi pana-panahon (larawan mula sa en.wikipedia.org).

Ang Penrose mosaic ay isang pattern na binuo mula sa polygonal tile ng dalawang partikular na hugis (medyo magkaibang rhombus). Maaari silang maghanda ng walang katapusang eroplano nang walang mga puwang.

Ang nagreresultang imahe ay mukhang ito ay isang uri ng "maindayog" na dekorasyon - isang larawan na may translational symmetry. Ang ganitong uri ng symmetry ay nangangahulugan na maaari kang pumili ng isang partikular na piraso sa isang pattern na maaaring "kopyahin" sa isang eroplano, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga "duplicate" na ito sa isa't isa sa pamamagitan ng parallel na paglipat (sa madaling salita, nang walang pag-ikot at walang pagpapalaki).

Gayunpaman, kung titingnan mong mabuti, makikita mo na ang Penrose pattern ay walang ganoong paulit-ulit na mga istraktura - ito ay aperiodic. Ngunit ang punto ay hindi isang optical illusion, ngunit ang katotohanan na ang mosaic ay hindi magulo: ito ay may fifth-order rotational symmetry.

Ang mga halimbawa ng quasicystals ay isang haluang metal ng AlMnPd at Al 60 Li 30 Cu 10 (ilustrasyon ni Paul J. Steinhardt).

Nangangahulugan ito na ang imahe ay maaaring iikot sa pinakamababang anggulo na 360/ n degree, kung saan n– pagkakasunud-sunod ng simetrya, sa kasong ito n= 5. Samakatuwid, ang anggulo ng pag-ikot, na hindi nagbabago ng anuman, ay dapat na isang multiple ng 360 / 5 = 72 degrees.

Sa loob ng humigit-kumulang isang dekada, ang imbensyon ni Penrose ay itinuturing na hindi hihigit sa isang cute na abstraction sa matematika. Gayunpaman, noong 1984, natuklasan ni Dan Shechtman, isang propesor sa Israel Institute of Technology (Technion), habang pinag-aaralan ang istraktura ng isang aluminyo-magnesium na haluang metal, na ang diffraction ay nangyayari sa atomic lattice ng sangkap na ito.

Paano tayo narito? Ang tanong ay hindi madali, kaya ang mga siyentipiko ay sumang-ayon na ang pagpipiliang ito ay tatawaging quasicrystals - isang bagay tulad ng isang espesyal na estado ng bagay.

Ipinapakita dito ang isa sa mga halimbawa ng paglalagay ng tile na ipinapakita sa isang ika-15 siglong Arabic na manuskrito. Gumamit ang mga mananaliksik ng mga kulay upang i-highlight ang mga umuulit na lugar. Ang lahat ng mga geometric na pattern ng medieval na Arab masters na pinag-aralan nina Lu at Steinhardt ay binuo batay sa limang elementong ito. Tulad ng nakikita mo, ang mga paulit-ulit na elemento ay hindi kinakailangang nakahanay sa mga hangganan ng tile (larawan ni Peter J. Lu).

Buweno, ang kagandahan ng pagtuklas, tulad ng iyong nahulaan, ay ang isang mathematical model para dito ay matagal nang handa. At, tulad ng malamang na natanto mo, ito ay isang Penrose mosaic. Ngunit ang isang ito ay hindi pa sampung taong gulang, ngunit mas matanda. Nakilala lamang ito sa ating mga araw, sa bukang-liwayway ng ika-21 siglo, at ang modelong ito ay naging mas matanda kaysa sa maiisip ng isa.

Noong 2007, si Peter J. Lu, isang physicist mula sa Harvard University, kasama ang isa pang physicist, si Paul J. Steinhardt, ngunit mula sa Princeton University, ay naglathala ng isang artikulo sa Science on mosaics Penrose (Si Lou ay dapat na kilala sa mga regular na mambabasa ng Membrane - mayroon kaming napag-usapan na ang tungkol sa kanyang mga natuklasan sa pagputol ng brilyante ng mga sinaunang palakol at kumplikadong sinaunang mga makina). Mukhang mayroong maliit na hindi inaasahang dito: ang pagtuklas ng mga quasicrystal ay nakakaakit ng matinding interes sa paksang ito, na humantong sa paglitaw ng isang grupo ng mga publikasyon sa pang-agham na pahayagan.

Gayunpaman, ang highlight ng trabaho ay hindi ito nakatuon sa modernong agham. At sa pangkalahatan - hindi agham.

Ang mga pattern ng "Quasicrystalline" ay natagpuan ang kanilang lugar hindi lamang sa arkitektura. Dito makikita mo ang pabalat ng Koran mula 1306-1315 at isang pagguhit ng mga geometric na fragment kung saan nakabatay ang pattern. Ito at ang mga sumusunod na halimbawa ay hindi tumutugma sa mga sala-sala ng Penrose, ngunit may ikalimang order na rotational symmetry (ilustrasyon ni Peter J. Lu).

Iginuhit ni Lu ang pansin sa mga pattern na sumasaklaw sa mga moske sa Asya, na itinayo noong Middle Ages. Ang mga madaling makikilalang disenyong ito ay ginawa mula sa mga mosaic tile. Ang mga ito ay tinatawag na girihi (mula sa salitang Arabic para sa "knot") at isang geometric na disenyo na katangian ng sining ng Islam at binubuo ng mga polygonal na hugis.

Sa loob ng mahabang panahon ay pinaniniwalaan na ang mga pattern na ito ay nilikha gamit ang isang ruler at compass. Gayunpaman, ilang taon na ang nakalilipas, habang naglalakbay sa Uzbekistan, naging interesado si Lou sa mga pattern ng mosaic na pinalamutian ang lokal na arkitektura ng medieval at napansin ang isang bagay na pamilyar sa kanila.

Pagbalik sa Harvard, sinimulan ng siyentipiko na suriin ang mga katulad na motif sa mga mosaic sa mga dingding ng mga medieval na gusali sa Afghanistan, Iran, Iraq at Turkey.

Nalaman niya na ang mga pattern na ito ay halos magkapareho at nakilala ang mga pangunahing elemento ng girikh na ginagamit sa lahat ng mga geometric na disenyo. Bilang karagdagan, natagpuan niya ang mga guhit ng mga imaheng ito sa mga sinaunang manuskrito, na ginamit ng mga sinaunang artista bilang isang uri ng cheat sheet para sa dekorasyon ng mga dingding.

Ngunit ang lahat ng ito, lumalabas, ay hindi napakahalaga. Upang lumikha ng mga pattern na ito, gumamit sila ng hindi simple, random na imbento na mga contour, ngunit mga figure na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. At ito ay hindi partikular na nakakagulat.

Ang talagang kawili-wili ay, na nakalimutan ang tungkol sa gayong mga scheme, ang mga tao ay nakatagpo muli ng mga ito sa ibang pagkakataon. Oo, oo, ang mga sinaunang pattern ay hindi hihigit sa kung ano ang mga siglo mamaya ay tatawaging Penrose lattices at matatagpuan sa istraktura ng quasicrystals!

Itinatampok ng mga larawang ito ang magkatulad na mga lugar, bagama't sila ay mula sa ibang-iba na mga moske (ilustrasyon ni Peter J. Lu).

Sa tradisyon ng Islam, mayroong mahigpit na pagbabawal sa paglalarawan ng mga tao at hayop, kaya ang mga geometric na pattern ay naging napakapopular sa disenyo ng mga gusali. Ang mga medyebal na master sa paanuman ay nagawa itong maging magkakaibang. Ngunit walang nakakaalam kung ano ang sikreto ng kanilang "diskarte". Kaya, ang lihim ay lumalabas na sa paggamit ng mga espesyal na mosaic na maaaring, habang nananatiling simetriko, punan ang eroplano nang hindi nauulit ang sarili nito.

Ang isa pang "panlinlang" ng mga larawang ito ay na, sa pamamagitan ng "pagkopya" ng gayong mga pakana sa iba't ibang mga templo ayon sa mga guhit, hindi maiiwasang payagan ng mga artista ang mga pagbaluktot. Ngunit ang mga paglabag sa kalikasan na ito ay minimal. Maaari lamang itong ipaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na walang punto sa malakihang mga guhit: ang pangunahing bagay ay ang prinsipyo kung saan itatayo ang larawan.

Upang mag-ipon ng mga girikh, limang uri ng mga tile ang ginamit (sampu at pentagonal rhombus at "butterflies"), na pinagsama sa isang mosaic na katabi ng bawat isa nang walang libreng puwang sa pagitan nila. Ang mga mosaic na nilikha mula sa kanila ay maaaring magkaroon ng rotational at translational symmetry nang sabay-sabay, o fifth-order rotational symmetry lamang (iyon ay, sila ay Penrose mosaic).

Fragment ng ornament ng Iranian mausoleum ng 1304. Sa kanan ay isang muling pagtatayo ng mga girikh (larawan ni Peter J. Lu).

Pagkatapos suriin ang daan-daang mga larawan ng medieval Muslim na mga site, sina Lu at Steinhardt ay nagawang i-date ang trend sa ika-13 siglo. Unti-unti, ang pamamaraang ito ay tumataas ang katanyagan at noong ika-15 siglo ito ay naging laganap.

Itinuring ng mga mananaliksik ang santuwaryo ni Imam Darb-i sa lungsod ng Isfahan ng Iran, na itinayo noong 1453, bilang isang halimbawa ng halos perpektong istrukturang quasicrystalline.

Ang pagtuklas na ito ay humanga sa maraming tao. American Association for the Advancement of Science (

Tungkol sa pagkakaroon Mga mosaic ng Penrose Hindi alam ng lahat, lalo na kung minsan ang kamangha-manghang mosaic na ito ay literal na nasa ilalim ng paa.
Kapag binisita namin ng asawa ko ang pamilya ng aming anak sa Finland, siyempre, naglalakad kami sa maaliwalas at maayos na lungsod ng Helsinki. Ang programa ng aming pamamalagi ay kinakailangang kasama ang pagbisita sa Academic Bookstore Akateeminen Kirjakauppa, na matatagpuan sa gitna sa Keskuskatu Street, na sa Russian ay nangangahulugang Central Street. Ang pagbisita sa bookstore na ito ay nagbibigay sa amin ng aesthetic na kasiyahan at, bagama't ang mga libro ay mahal sa Finland, lagi naming gustong bumili ng kahit isang maliit, magandang larawang libro tungkol sa mga bulaklak at halaman.
Isang araw, pinayuhan kami ng aking anak, isang propesyon ng matematika, kapag naglalakad sa kahabaan ng pedestrian street na ito na maingat na isaalang-alang paglalagay ng mga tile sa ibabaw. Ipinaliwanag niya kung ano iyon Penrose mosaic.

Lahat tayo ay nakakita ng mga tile, siyempre. Kadalasan ito ay parisukat sa hugis. Ang mga tile ay inilatag sa iba't ibang magagandang pattern.

Minsan ang mga tile na may iba't ibang hugis at sukat ay ginagamit, ngunit ang pangkalahatang hitsura ng pantakip sa ibabaw ay parisukat pa rin.

Minsan ang mga tile ay inilatag offset, o hindi-square na mga tile ay ginagamit

Ngunit ang lahat ng mga pattern na ito ay binubuo pa rin ng mga paulit-ulit na bahagi

Sa kalye ng Keskuskatu sa Helsinki, ang mga tile ay inilatag sa gayon hindi umuulit ang pattern.

Hanggang sa 1964, walang naniniwala na posible na makabuo ng isang hanay ng mga tile na maaaring magamit upang ihanda ang isang eroplano nang hindi inuulit ang pattern.
Noong 1964, ang mathematician na si Robert Berger ay nakabuo ng ganoong set. Sa kasamaang palad, mayroong 20,426 na tile sa hanay na ito ng iba't ibang hugis at sukat.
Halos kaagad, naisip niya kung paano bawasan ang bilang ng iba't ibang mga tile sa isang set sa 104 na uri.
Noong 1968, binawasan ng sikat na mathematician na si Donald Knuth ang bilang ng iba't ibang tile sa 92.

Noong 1971, si Raphael Robinson ay nakabuo ng isang set ng anim na tile lamang na maaaring magamit upang takpan ang isang ibabaw nang walang pag-uulit. Ngunit malamang na hindi mo nais na gamitin ang mga ito sa iyong banyo.

Noong 1973, ang English mathematician na si Roger Penrose ay nakabuo ng isang set ng anim na magagandang tile. Kung tinakpan mo ang kahit isang napakalaking palapag gamit ang mga tile na ito, hindi mauulit ang pattern.

Ang tunay na katanyagan ay dumating kay Roger Penrose nang matuklasan niya na dalawang uri lamang ng mga tile ang sapat upang lumikha ng isang natatanging pattern. Ang mga tile na ito ay mga geometric na hugis - mga rhombus, bahagyang naiiba sa bawat isa.
Ito ay isang larawan ng mathematician na si Roger Penrose laban sa isang ibabaw na natatakpan ng hindi umuulit na pattern.
Pag-tile ng eroplano hindi paulit-ulit na palamuti gawa sa tile ay tinatawag na ngayon Penrose mosaic.

Ang resultang pag-tile ay mukhang ang mosaic ay may isang tiyak na pag-aari ng mahusay na proporsyon, kapag ang ilang bahagi ng geometric na pattern ay maaaring ilipat nang kahanay nang hindi umiikot, at ang mga bahagi ay maaaring pagsamahin sa bawat isa.

Sa katunayan, sa maingat na pagsusuri sa Penrose mosaic, mapapansin mo na ang pattern ay walang periodicity, ngunit sa parehong oras ang pattern ay hindi magulo. Ang symmetry ng Penrose geometric pattern ay tinatawag na rotational, at mahigpit na mathematically, fifth order.

Sa loob ng humigit-kumulang sampung taon, ang imbensyon ng matematika ni Roger Penrose ay walang praktikal na kahalagahan at higit na kilala sa mga mathematician. Ngunit noong 1984, ang propesor ng Israel na si Dan Shechtman, na nag-aaral ng solid state physics, ay natuklasan ang diffraction ng parehong ikalimang order sa atomic lattice ng isang aluminum-magnesium alloy. Kapag tinatalakay ang hindi pangkaraniwang bagay na ito, pinagtibay ng mga siyentipiko ang kilalang Penrose mosaic bilang isang modelo ng matematika.

Nang maglaon ay lumabas na ang pagtakip sa ibabaw na may mga geometric na figure na walang gaps o overlap ay malawakang ginagamit sa sining ng Islam noong Middle Ages. Sa Asya, ang mga moske ay natatakpan ng mga mosaic na geometric na pattern. Ang mga diagram ay natagpuan sa mga sinaunang manuskrito na nagpapahiwatig na ang mga pattern na nagpapalamuti sa mga dingding ay hindi magulo, ngunit binubuo ng ilang mga figure na nakaayos sa isang mahigpit na pagkakasunud-sunod. Dahil ipinagbabawal ang sining ng Islam na maglarawan ng mga hayop o tao, pinalamutian ng mga sinaunang master ang mga templo na may mga geometric na pattern.
Ang malawak na pagkakaiba-iba ng mga hindi paulit-ulit na pattern ay nagbubunga ng paghanga at sorpresa. Ang dahilan ay tiyak na nakasalalay sa katotohanan na ang mga espesyal na uri ng mga mosaic ay ginamit, na marami sa mga ito ay may parehong ikalimang order na rotational symmetry, at talagang mga Penrose mosaic. Maaaring ipagpalagay na ang papel ng matematika ay napakahalaga sa medyebal na sining ng Islam.

Sa ibaba ay nag-aalok ako ng mga larawan para tingnan Penrose mosaic tile pedestrian street Keskuskatu sa Helsinki. Ang ibabaw ay natatakpan ng mga tile na walang gaps o overlaps, habang ang pattern ay hindi nauulit kahit saan.

Noong 1973, ang English mathematician na si Roger Penrose ay lumikha ng isang espesyal na mosaic ng mga geometric na hugis, na naging kilala bilang Penrose mosaic.
Ang Penrose mosaic ay isang pattern na binuo mula sa polygonal tile ng dalawang partikular na hugis (medyo magkaibang rhombus). Maaari silang maghanda ng walang katapusang eroplano nang walang mga puwang.

Penrose mosaic ayon sa lumikha nito.
Ito ay binuo mula sa dalawang uri ng rhombus,
ang isa ay may anggulo na 72 degrees, ang isa ay may anggulo na 36 degrees.
Ang larawan ay lumalabas na simetriko, ngunit hindi pana-panahon.

Nangangahulugan ito na ang imahe ay maaaring paikutin ng isang minimum na anggulo na katumbas ng 360 / n degrees, kung saan ang n ay ang pagkakasunud-sunod ng simetrya, sa kasong ito n = 5. Samakatuwid, ang anggulo ng pag-ikot, na hindi nagbabago ng anuman, ay dapat na isang maramihang ng 360 / 5 = 72 degrees.

Ang mga nakaraang ideya na umiral sa solid state physics ay hindi kasama ang posibilidad na ito: ang istraktura ng pattern ng diffraction ay may fifth-order symmetry. Ang mga bahagi nito ay hindi maaaring pagsamahin sa pamamagitan ng parallel transfer, na nangangahulugan na ito ay hindi isang kristal sa lahat. Ngunit ang diffraction ay katangian ng isang kristal na sala-sala! Sumang-ayon ang mga siyentipiko na ang pagpipiliang ito ay tatawaging quasicrystals - isang bagay na tulad ng isang espesyal na estado ng bagay. Well, ang kagandahan ng pagtuklas ay ang isang mathematical model para dito ay matagal nang handa - ang Penrose mosaic.

At kamakailan lamang ay naging malinaw na ang mathematical construction na ito ay mas matanda kaysa sa maiisip ng isa. Noong 2007, si Peter J. Lu, isang physicist mula sa Harvard University, kasama ang isa pang physicist, si Paul J. Steinhardt, ngunit mula sa Princeton University, ay nag-publish ng isang artikulo sa Science on mosaics Penrose. Mukhang mayroong maliit na hindi inaasahang dito: ang pagtuklas ng mga quasicrystal ay nakakaakit ng matinding interes sa paksang ito, na humantong sa paglitaw ng isang grupo ng mga publikasyon sa pang-agham na pahayagan.

Gayunpaman, ang highlight ng trabaho ay hindi ito nakatuon sa modernong agham. At sa pangkalahatan - hindi agham. Binigyang-pansin ni Peter Lu ang mga pattern na sumasaklaw sa mga mosque sa Asia, na itinayo noong Middle Ages. Ang mga madaling makikilalang disenyong ito ay ginawa mula sa mga mosaic tile. Ang mga ito ay tinatawag na girihi (mula sa salitang Arabe para sa "knot") at isang geometriko na disenyong katangian ng sining ng Islam at binubuo ng mga polygonal na hugis.

Isang halimbawa ng layout ng tile na ipinapakita sa isang 15th-century na Arabic na manuscript.
Gumamit ang mga mananaliksik ng mga kulay upang i-highlight ang mga umuulit na lugar.
Ang lahat ng mga geometric na pattern ay itinayo batay sa limang elementong ito.
medieval Arab masters. Mga umuulit na elemento
hindi kinakailangang tumutugma sa mga hangganan ng tile.

Mayroong dalawang mga estilo sa Islamic ornament: geometric - girikh, at floral - islimi.
Girikh(pers.) - isang kumplikadong geometric na pattern na binubuo ng mga linya na inilarawan sa pangkinaugalian sa hugis-parihaba at polygonal na mga hugis. Sa karamihan ng mga kaso, ginagamit ito para sa panlabas na dekorasyon ng mga moske at mga aklat sa malalaking publikasyon.
Islami(pers.) – isang uri ng palamuti na binuo sa kumbinasyon ng bindweed at spiral. Nilalaman sa inilarawan sa pangkinaugalian o naturalistic na anyo ang ideya ng isang patuloy na umuusbong na namumulaklak na mga dahon ng shoot at may kasamang walang katapusang iba't ibang mga pagpipilian. Ito ay pinakalaganap sa pananamit, aklat, panloob na dekorasyon ng mga mosque, at mga pinggan.

Cover ng Koran ng 1306-1315 at pagguhit ng mga geometric na fragment,
kung saan nakabatay ang pattern. Ito at ang mga sumusunod na halimbawa ay hindi magkatugma
Penrose lattices, ngunit may fifth-order rotational symmetry

Bago ang pagtuklas ni Peter Lu, pinaniniwalaan na ang mga sinaunang arkitekto ay lumikha ng mga pattern ng giriha gamit ang isang ruler at compass (kung hindi sa pamamagitan ng inspirasyon). Gayunpaman, ilang taon na ang nakalilipas, habang naglalakbay sa Uzbekistan, naging interesado si Lou sa mga pattern ng mosaic na pinalamutian ang lokal na arkitektura ng medieval at napansin ang isang bagay na pamilyar sa kanila. Pagbalik sa Harvard, sinimulan ng siyentipiko na suriin ang mga katulad na motif sa mga mosaic sa mga dingding ng mga medieval na gusali sa Afghanistan, Iran, Iraq at Turkey.

Ang halimbawang ito ay napetsahan sa isang mas huling panahon - 1622 (Indian mosque).
Kung titingnan ito at ang pagguhit ng istraktura nito, hindi maiiwasang humanga sa pagsusumikap
mga mananaliksik. At, siyempre, ang mga masters mismo.

Natuklasan ni Peter Lu na ang mga geometric na pattern ng mga girikh ay halos magkapareho at nagawang tukuyin ang mga pangunahing elemento na ginagamit sa lahat ng geometric na disenyo. Bilang karagdagan, natagpuan niya ang mga guhit ng mga imaheng ito sa mga sinaunang manuskrito, na ginamit ng mga sinaunang artista bilang isang uri ng cheat sheet para sa dekorasyon ng mga dingding.
Upang lumikha ng mga pattern na ito, gumamit sila ng hindi simple, random na imbento na mga contour, ngunit mga figure na nakaayos sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ang mga sinaunang pattern ay naging eksaktong mga konstruksyon ng Penrose mosaic!

Itinatampok ng mga larawang ito ang parehong mga lugar,
bagama't ito ay mga larawan mula sa iba't ibang mosque

Fragment ng ornament ng Iranian mausoleum ng 1304. Sa kanan – muling pagtatayo ng mga girikh

Matapos suriin ang daan-daang mga larawan ng medieval Muslim na mga site, nagawa nina Lu at Steinhardt na i-date ang trend sa ika-13 siglo. Unti-unti, ang pamamaraang ito ay tumataas ang katanyagan at noong ika-15 siglo ito ay naging laganap. Ang pakikipag-date ay halos kasabay ng panahon ng pagbuo ng pamamaraan ng pagdekorasyon ng mga palasyo, moske, at iba't ibang mahahalagang gusali na may mga glazed colored ceramic tile sa hugis ng iba't ibang polygon. Iyon ay, ang mga ceramic tile ng mga espesyal na hugis ay partikular na nilikha para sa mga girikh.

Itinuring ng mga mananaliksik ang santuwaryo ni Imam Darb-i sa lungsod ng Isfahan ng Iran, na itinayo noong 1453, bilang isang halimbawa ng halos perpektong istrukturang quasicrystalline.

Portal ng dambana ng Imam Darb-i sa Isfahan (Iran).
Narito ang dalawang sistema ng mga girikh ay nakapatong sa isa't isa.

Column mula sa courtyard ng isang mosque sa Turkey (circa 1200)
at ang mga pader ng isang madrasah sa Iran (1219). Ito ay mga maagang gawa
at gumagamit lamang sila ng dalawang elemento ng istruktura na natagpuan ni Lu

Ngayon ay nananatiling makahanap ng mga sagot sa isang bilang ng mga misteryo sa kasaysayan ng Girikh at ang mga mosaic ng Penrose. Paano at bakit natuklasan ng mga sinaunang mathematician ang mga istrukturang quasicrystalline? Ang mga medieval Arab ba ay nagbigay ng mosaic ng anumang kahulugan maliban sa masining? Bakit nakalimutan ang isang kawili-wiling konsepto ng matematika sa kalahating milenyo? At ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay ay kung ano ang iba pang mga modernong pagtuklas ay bago, na sa katunayan ay nakalimutan nang husto?